עקרון קאוואליירי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 16:
נניח כי לפירמידה כלשהי יש בסיס ששטחו <math>S</math> וגובה <math>h</math>. מהגדרת הפירמידה, כל חתך מישורי דרכה המקביל לבסיסה, [[דמיון (גאומטריה)|דומה]] לבסיסה. מכיוון שהפרמידה מוגדרת על ידי מתיחת קווים ישרים, יחס הדמיון משתנה ב[[יחס ישר|אופן לינארי]] ביחס לגובה החתך מעל הבסיס. למעשה אם גובה החתך מעל הבסיס הוא <math>y</math> אז יחס הדמיון הוא <math>\tfrac{h-y}{h}</math>. מתכונות יחס הדמיון ידוע לנו שהיחס בין שטח החתך לשטח הבסיס נתון על ידי יחס הדמיון בריבוע. כלומר שטח החתך הוא <math>\tfrac{S(h-y)^2}{h^2}</math>.
קיבלנו ששטח חתך מישורי של פירמידה המקביל לבסיס תלוי רק בשטח הבסיס, גובה הפירמדיה וגובה החתך. נמקם את שני הבסיסים של שתי פירמידות עם אותו שטח בסיס וגובה, על אותו מישור,
כעת ניתן להסיק את הנוסחה לנפח פירמידה כלשהי. כפי ש[[אוקלידס]] הוכיח<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXII/propXII7.html משפט 12.7] ב[[יסודות (ספר)|יסודות]].</ref>, כל [[מנסרה (גאומטריה)|מנסרה]] משולשת (בעלת בסיס משולש) ניתן לחלק לשלושה [[ארבעון|ארבעונים]] (פירמידות עם בסיס משולש), כך שלמנסרה ולשלושת הארבעונים אותו שטח בסיס וגובה. לפי השקילות שהוכחנו, לכל שלושת הארבעונים אותו הנפח, ומכאן שנפח הארבעון הוא שליש
למעשה הוכחת התוצאה הזו מחייבת את השימוש בעקרון קאוואליירי או בטיעון אינפיניטסימלי דומה. שכן פתרון [[הבעיה השלישית של הילברט]] קובע שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של פירמידות (אפילו עם בסיס מצולע) על ידי פירוק סופי ל[[פאון|פאונים]] חופפים. קושי שכזה לא מופיע [[חידות חיתוך והרכבה#הפיכת צורה אחת לאחרת|במקרה של שטחים]] במקום נפחים.
| |||