אוריינטציה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
?? |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{שכתוב|תרגמת חריפה|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Cartesian_coordinate_system_handedness.svg|שמאל|ממוזער|250px|ניתן לראות בתמונה את האוריינטציה השמאלית (בצד שמאל) ואת הימנית (בצד ימין).]]
'''אוריינטציה''' (במתמטיקה) היא הרעיון שמאפשר להתייחס ל[[צורה]] הנמצאת במרחב [[דו מימד]]י, כמסתובבת עם כיוון השעון או נגדו, ולצורה הנמצאת במרחב ה[[תלת מימד]]י כ"ימנית" או "שמאלית". ב[[אלגברה לינארית]], הרעיון של אוריינטציה, בממדים שרירותיים, מקבל משמעות שונה. במצב כזה, האוריינטציה של [[בסיס סדור]] היא סוג של [[א-סימטריה]] שגורמת לכך שלא ניתן יהיה לשכפל את בבואתו של הבסיס, ע"י סיבוב פשוט.
האוריינטציה על [[מרחב וקטורי]] ממשי, היא הבחירה השרירותית של איזה בסיסים סדורים מסתובבים לכיוון חיובי, ואיזה לכיוון שלילי. במרחב תלת מימדי אוקלידי, מתייחסים בד"כ לבסיסים ימניים כמסתובבים לכיוון חיובי (עם זאת, הבחירה היא שרירותית, וניתן גם לייחס להם אוריינטציה שלילית).
שורה 10:
נסמן את המימד הסופי, במרחב הוקטורי הממשי, ב''V'', ונסמן ב ''b''<sub>1</sub> וב''b''<sub>2</sub>, כשני בסיסים סדורים של ''V''. תוצאה ידועה ב[[אלגברה לינארית]] היא שקיים [[העתקה לינארית|העתק לינארי]] ''A'': ''V''→''V'' שהופך את ''b''<sub>1</sub> ל''b''<sub>2</sub>. יוצא מכך, שלבסיסים ''b''<sub>1</sub> ו''b''<sub>2</sub> יש את אותה אוריינטציה אם ל''A'' יש [[דטרמיננטה]] חיובית, ואוריינטציה הפוכה אם אין לו. התכונה, שיש להם את אותה אוריינטציה, מגדירה [[יחס שקילות]] על המערכת של כל הבסיסים הסדורים של ''V''. אם ''V'' שונה מאפס, קיימים בדיוק שני חוגי שקילות שמוגדרים ע"י היחסים הנ"ל. אוריינטציה על ''V'' היא העברה של 1+ לחוג שקילות אחד ו−1 לשני.{{הערה| Rowland, Todd. "Vector Space Orientation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html}}
כל בסיס סדור נמצא בחוג שקילות כזה או אחר. בהתאם לכך, כל בחירה של בסיס סדור מועדף עבור ''V'' קובעת אוריינטציה: חוג האוריינטציה של הבסיס המועדף מוכרז כחיובי.
סדר האלמנטים על הבסיס הוא מכריע. שני בסיסים עם סידור שונה יהיו שונים זה מזה בכמה [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]]. מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא חתימת התמורה שלהם (אם היא 1+ או −1). זאת בגלל שהדטרמיננטה של [[מטריצה|מטריצת]] התמורה שווה לחתימה של התמורה הנלווית.
באופן דומה, נסמן את ''A'' כמיפוי לינארי א-סינגולרי של המרחב הוקטורי '''R'''<sup>''n''</sup> עד '''R'''<sup>''n''</sup>. מיפוי זה הוא "שימור אוריינטציה" אם הדטרמיננטה שלו היא חיובית.{{הערה| Weisstein, Eric W. "Orientation-Preserving." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Orientation-Preserving.html}}
::<math>
\bold {A}_1 = \begin{pmatrix}
| |||