כפייה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 13:
נתחיל ממודל [[בן מנייה]] של ZFC,‏ M. M יקרא מודל הבסיס.
בתוך M נבחר קבוצה [[יחס סדר חלקי|סדורה חלקית]] <math>\mathbb{P} \in M</math>. קבוצה זו תקרא '''קבוצת תנאי הכפייה''' ונחשוב על איבריה כמידע חלקי לגבי הקבוצה הגנרית G שאנחנו רוצים להוסיף. התכונות של המודל <math>M[G]</math> ייקבעו על ידי התכונות של יחס הסדר. עבור זוג איברים <math>x, y \in \mathbb{P}</math> נאמר ש-x חזק יותר מ-y (או מספק יותר מידע על G מ-y) אם x < y, ביחס הסדר של P. לשם הפשטות נניח כי יש ליחס הסדר איבר מקסימלי (שיסומן 1). נחשוב על האיבר הזה כתנאי שלא מספק לנו שום מידע על G.
קבוצה G תקרא '''מסנן גנרי''' עבור P אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
# G סגורה להחלשה: <math>x \in G, x < y \rightarrow y \in G</math>.
שורה 22:
כיוון ש-M בן מנייה מספר הקבוצות הצפופות בו הוא בן מנייה ולכן ניתן על ידי [[לכסון (שיטת הוכחה)|טיעון לכסון]] להוכיח שקיים מסנן גנרי. למעט מקרים טריוויאליים, מסנן כזה לא יכול להשתייך ל-M (המודל M "חושב" שהוא לא בן מנייה, ולכן לא מסוגל להפעיל את הוכחת הלכסון ולמצוא את G). לכן, כשנוסיף את הקבוצה G למודל הבסיס נקבל מודל חדש, גדול יותר ממודל הבסיס.
המודל M[G]&
כעת, נוכל לדבר על '''שפת הכפייה''' - בתוך M נוכל להגדיר את הביטוי <math>p \Vdash \psi(\tau_0, \tau_1, \dots , \tau_{n - 1} ) </math> עבור [[נוסחה (לוגיקה)|נוסחה]] <math>\psi</math> ושמות <math>\tau_i</math>, שמשמעותו תהיה שלכל מסנן גנרי G המכיל את p המודל M[G]‎ מקיים את הנוסחה <math>\psi(val_G(\tau_0) , ... , val_G(\tau_{n-1}) ) </math>.
הגדרה זו, כפי שנוסחה להלן, לא נעשית בתוך M (כיוון ש-M לא מכיל שום מסנן גנרי), אך למעשה ניתן להראות שניתן להגדיר הגדרה שקולה שמתייחסת רק לתכונות יחס הסדר P, אותן מודל הבסיס, M, "מכיר". לכן, בתוך M, ניתן להגדיר קבוצות של שמות שעבורם עבור תנאי מסויים p מתקיימת טענה מסויימת. תכונה זו מאפשרת לנו להוכיח שאם M מקיים את אקסיומות ZFC גם M[G]‎ יקיים אותן.
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
| |||