ויקיפדיה

דמיון משולשים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
תגית: הסרת קטגוריות
מ ההבדל בין ערך לספר לימוד בגיאומטריה
שורה 1:
[[קובץ:Similar triangles.png|שמאל|ממוזער|300px|משולשים דומים]]
דמיו משולשים- שני משולשים שבהם שוות התאמה שלוש הזוויות ובין כל שתי צלעות מתאימות יש יחס קבוע נקראים משולשים דומים. כלומר , אם המשולשים '''ABCו-DEF''' דומים זה לזה , ניתן לקבוע כי מתקיים שיוויון בין הזויות המתאימות , כלומר זווית '''A=<D , <C=<F , <B=<E>'''.
'''משולשים דומים''' הם שני [[משולש]]ים שקיים ביניהם יחס ה[[דמיון (גאומטריה)|דמיון]], כלומר הם מקיימים את התנאים הבאים:
בנוסף מתקיים יחס קבוע בין כל שתי תלעות מתאימות , כלומר : <math> {CB \over FE} = {AC \over FD} = {AB \over DE}</math> [[קובץ:triengels.jpg|שמאל|ממוזער|250px|משולשים דומים]]
* שלוש ה[[זווית|זוויות]] של שני המשולשים שוות בהתאמה. במשולשים <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math> בציור שמשמאל מתקיים: הזווית <math> \angle BAC</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle EDF</math> , הזווית <math>\angle ABC</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle DEF</math>, והזווית <math>\angle ACB</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle DFE</math>.
את דמיון המשולשים ובתרגילי ההוכחה מסמנים הצורה הבאה :
* ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]] המתאימות של שני המשולשים שווה עבור שלושת זוגות הצלעות. במשולשים <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math> בציור שמשמאל מתקיים <math> {AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF}</math>
<math>\triangle DEF</math> ~ <math>\triangle ABC</math>
די בכך שהמשולש מקיים את אחד התנאים, משום שקיום אחד התנאים גורר את קיום התנאי האחר.
למעשה ,משולשים חופפים הם משולשים דומים אשר יחס הדימיון ביניהם הוא שווה ל-1.▼
 
אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש השני, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.
 
כאשר שני משולשים, <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math>, דומים, מסמנים זאת בצורה: <math>\triangle ABC\sim\triangle DEF \, </math>, כאשר הקודקודים המתאימים הם באותו סדר (כלומר זווית A שווה לזווית D, B ל-E ו-C ל-F).
== משפטי דמיון==
1) '''משפט דמיון ז.ז''' - אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זויות במשולש השני , אז המשולשים הם הינם דומים.
כלומר אם מתקיים A=<D> ו- B=<E> ניתן לקבוע כי <math>\triangle DEF</math> ~ <math>\triangle ABC</math> .
לאחר הוכחת הדימיון ניתן לקבוע כי <math> {CB \over FE} = {AC \over FD} = {AB \over DE}</math> .
 
▲למעשה ,[[משולשים חופפים]] הם [[מקרה פרטי]] של משולשים דומים, אשרהמתקיים יחסכאשר הדימיוןהיחס ביניהםבין הואהצלעות שווה ל-1.
2) '''משפט דימיון צ.ז.צ''' - אם שני משולשים שווים בזווית אחת ושתי הצלעות הכולאות את הזווית במשולש אחד מתייחסות באותו יחס לשתי הצלעות הכולאות את הזווית במשולש השני , המשולשים הם דומים . כלומר , אם A=<D> ו- <math> {AB \over DE} = {AC \over DF}</math> אז המשולשים <math>\triangle DEF</math> ~ <math>\triangle ABC</math> .
 
כדי להוכיח דמיון מספיק שיתקיים אחד משלושת התנאים הבאים:
3) '''משפט דימיון צ.צ.צ''' - אם שלוש צלעות של משולש אחד מתייחסות באותו יחס לשלוש צלעות של משולש שני , אז המשולשים דומים.
* שתי זוויות שוות בהתאמה. כלומר לשני המשולשים יש אותן שתי זוויות. כיוון שבמשולש יש 180 מעלות, מתנאי זה נובע ששלוש הזוויות בשני המשולשים שוות בהתאמה, כיוון שבכל אחד משני המשולשים הזווית השלישית שווה ל-180 פחות שתי הזוויות האחרות במשולש.
כלומר , אם : <math> {CB \over FE} = {AC \over FD} = {AB \over DE}</math> אז המשולשים : <math>\triangle DEF</math> ~ <math>\triangle ABC</math> .
* שלושת ה[[יחס (בין מספרים)|יחסים]] בין הצלעות המתאימות שווים. כלומר ניתן לסדר את המשולשים בצורה כזו שמתאימים לכל צלע במשולש אחד צלע במשולש השני כך שחלוקה של גודל של אחד בגודל של השני תיתן את אותו קבוע עבור שלושת זוגות הצלעות.
* שני יחסים בין הצלעות והזווית בין שתי צלעות אלו.
 
[[קובץ:Triangle midpoints.svg|שמאל|ממוזער|150px|הקו DE, המקביל לצלע AB, יוצר משולש <math>\triangle CDE</math> הדומה למשולש <math>\triangle CAB</math>]]
<span style="color: red;">'''*** שימו לב !'''</span> לאחר הוכחת משולשים דומים ניתן לקבוע כי כל הזוויות שוות בהתאמה למשולש השני . '''A=<D , <C=<F , <B=<E>''' .
במשולשים דומים, בין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים [[יחס (בין מספרים)|יחס]] קבוע. היחס בין שטחי המשולשים שווה ל[[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] היחס שבין הצלעות, ויחס ה[[היקף|היקפים]], ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]], ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]] ו[[חוצה זווית|חוצי הזווית]] שווה ליחס בין הצלעות.
 
כאשר במשולש מעבירים קו ה[[ישרים מקבילים|מקביל]] לאחת הצלעות, הוא יוצר משולש דומה למשולש המקורי (תכונה זאת ידועה גם בשם [[משפט תאלס#הרחבה שנייה|משפט תאלס המורחב]]).
 
[[יחס]] הדמיון הוא [[יחס שקילות]].
 
[[קטגוריה:משולש]]
[[קטגוריה:יחסי שקילות]]
 
[[en:Similarity (geometry)#Similar triangles]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/דמיון_משולשים"