סכום של שני ריבועים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ? |
|||
שורה 7:
ב- [[1638]] הציע [[פייר דה פרמה|פרמה]] ל[[דקארט]] להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה <math>\ 4k-1</math> כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה ל[[מרן מרסן|מרסן]]: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה <math>\ 4m</math> או <math>\ 8m+1</math>. ב-[[1659]] כתב פרמה ל[[בלז פסקל|פסקל]] שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של [[נסיגה אינסופית]].
פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-[[1670]] קובץ הערות על הספר "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" של דיופנטוס, התייחס גם ל[[משוואה]] <math>\ a^2+b^2=n</math>. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם <math>\ n=p^k</math> ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק <math>\
ל-Bernard Frénicle de Bessy {{אנ|Bernard Frénicle de Bessy}} מיוחסת ההבחנה שהצגת מספר כסכום של שני ריבועים בשתי דרכים שונות מאפשרת ל[[פירוק לגורמים של מספר שלם|פרק אותו לגורמים]]
ב- [[1747]], במכתב ל[[גולדבך]], הוכיח [[לאונרד אוילר]] שאם a ו- b [[מספרים זרים|זרים]], אז כל גורם של <math>\ a^2+b^2</math> ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", [[1770]]) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה המרוכבת]] של המכפלה <math>\ (a+b\sqrt{-1})(c+d\sqrt{-1})</math>. היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית <math>\ x^2+y^2</math> בעזרת ה[[חוג אוקלידי|אוקלידיות]] של [[חוג השלמים של גאוס]], <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math>.
| |||