חבורה יסודית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 23:
במרחבים רבים כגון <math>\,\mathbb{R}^n</math>, או כל [[תת קבוצה]] [[קבוצה קמורה|קמורה]] של <math>\,\mathbb{R}^n</math> ישנה רק מחלקת שקילות הומוטופית אחת, ולפיכך החבורה היסודית של המרחב היא החבורה ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]]. מרחב טופולוגי שהחבורה היסודית שלו טריוויאלית נקרא [[מרחב פשוט קשר]].
דוגמה מעניינת יותר נתונה על ידי ה[[מעגל]]. מתברר כי כל מחלקת הומוטופיה מורכבת מכל הלולאות אשר מקיפות את המעגל מספר נתון של פעמים (אשר יכול להיות חיובי או שלילי, בהתאם לכיוון בו נעים). המכפלה של סיבוב ''m'' פעמים בסיבוב ''n'' פעמים היא לולאה שמקיפה את המעגל ''n+m'' פעמים. לפיכך החבורה היסודית של המעגל איזומורפית ל <math>\,(\mathbb{Z},+)</math> - החבורה החיבורית של ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]].
בניגוד ל[[הומולוגיה (טופולוגיה אלגברית)|חבורות ההומולוגיה]] וחבורות ההומוטופיה הגבוהות יותר, החבורה היסודית של מרחב טופולוגי אינה בהכרח [[חבורה אבלית|אבלית]]. לדוגמה, החבורה היסודית של [[תורת הגרפים|גרף]] ''G'' היא [[חבורה חופשית]]. הדרגה של חבורה זו שווה ל <math>\,1-\chi(G)</math>, כלומר 1 פחות [[קרקטריסטיקת אוילר]] של ''G''.
| |||