שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) |
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 14:
אפשר להגדיר את השדה הממשי באופן אקסיומטי, כ[[שדה סדור שלם|שדה הסדור השלם]] המינימלי, או כ[[שדה סדור שלם|שדה הסדור השלם]] ה[[שדה ארכימדי|ארכימדי]] היחידי.
=== בנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים ===
כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של [[מרחב מטרי]], ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, <math>\mathbb{Q}</math>, וב[[מטריקה]] <math>d(x,y)=|x-y|</math> (כאשר הקווים האנכיים מציינים [[ערך מוחלט]]).
תהי <math>R</math> קבוצת כל סדרות הקושי ב-<math>\mathbb{Q}</math>, כלומר קבוצת כל הסדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> כך שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N</math> טבעי כך שלכל זוג טבעיים <math>m,n>N</math> מתקיים <math>|x_m-x_n|<\varepsilon</math>.
נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו-<math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> שקולות אם ורק אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>|x_n-y_n|<\varepsilon</math>.
<br />
ניתן להראות כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]. [[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> וניתן להראות כי היא אכן מקיימת את כל האקסיומות של המספרים הממשיים.
{{מערכות מספרים}}
| |||