לוגריתם טבעי – הבדלי גרסאות

את הלוגריתם ניתן להגדיר גם עבור [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], בצורה שתכליל את הגדרתו עבור מספרים ממשיים. אם מספר מרוכב נתון על ידי <math>\ z=re^{i\phi}</math> כאשר <math>\ r</math> הוא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של המספר ו-<math>\ \phi</math> ה[[ארגומנט]] שלו, <math>\ -\pi<\phi\le\pi</math> , אז הלוגריתם שלו נתון על ידי <math>\ \log(z)=\ln(r)+i(\phi +2\pi k)</math> כאשר <math>\ k\isin \mathbb{Z}</math> .בהגדרה זו, הלוגריתם הוא [[פונקציה רב ערכית]]. כאשררב רוציםערכיות להתייחסהפונקציה ללוגריתםבעייתית, בין השאר, משום שהיא מונעת ממנה לשמש כהופכית לפונקצית המעריך הטבעי המרוכב (<math>e^z</math>). אם נרצה להפוך את הלוגריתם המרוכב כפונקציהלפונקציה חד ערכית, ניתן לנקוט באחת משתי דרכים:

# ניתן לצמצם את התמונה לערכים עם חלק מרוכב שחסום בין שני קבועים. בצורה הזו מקבלים את פונקציההפונקציה חדהחד ערכית: <math>\ \log(z)=\ln(r)+i\phi</math> כאשר <math>\phi \in [a , a+2\pi ]</math>. בדרך כלל קובעים את a להיות 0, ואז פונקציית הלוגריתם לא רציפה על המספרים הממשיים החיוביים. החלק המרוכב שלה "קופץ" מ- <math>2\pi </math> ל-0: לכל <math> \ x,h>0</math> ממשיים מתקיים <math>\lim_{h\to 0}[ \ln (x-ih)-\ln (x+ih)]=2\pi i</math> ).