קבוצת בורל – הבדלי גרסאות

ניתן גם להגדיר את קבוצות בורל בישר באופן קונסטרוקטיבי באמצעות [[אינדוקציה טרנספיניטית]]. מגדירים את <math>B_0</math> כקבוצת כל הקבוצות שהן פתוחות או סגורות. לכל [[מספר סודר|סודר]] עוקב <math>\alpha+1</math> מגדירים את <math>B_{\alpha+1}</math> כקבוצת כל האיחודים בני המנייה של איברי <math>B_\alpha</math>, או משלימים של איחודים כאלה. לכל סודר גבולי <math>\gamma</math> מגדירים <math>B_{\gamma} = \bigcup_{\beta<\gamma} B_{\beta}</math>. אלגברת בורל היא הקבוצה <math>B_{\omega_1}</math>, כאשר <math> \omega_1</math> הוא הסודר הקטן ביותר שאינו [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]].<ref>[http://www.muchado.gadial.net/?p=8 עוד כמה מילים על סודרים ואינדוקציה טרנספיניטית], מהומה רבה על לא דבר</ref>

 

 

מהבנייה הקונסטרוקטיבית של קבוצות בורל נובע שיש <math>\aleph</math> ([[עוצמת הרצף]]) קבוצות בורל. הרבה פחות מאשר ה[[מידת לבג|קבוצות המדידות לבג]], הכוללות את קבוצות בורל, ומהן יש <math>2^{\aleph}</math>.