חוג מקומי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[תורת החוגים]], '''חוג מקומי''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] (בדרך כלל - קומוטטיבי) שיש לו [[אידאל מקסימלי]] יחיד. חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך ה[[לוקליזציה (תורת החוגים)|מיקום]] של חוג קומוטטיבי נתון ביחס ל[[אידאל ראשוני]] של אותו חוג. כל [[תחום הערכה]] הוא מקומי. לחוג קומוטטיבי מקומי תורת הצגות פשוטה בתכלית: יש לו מודול פשוט יחיד ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] איזומורפיזם), וכל [[מודול פרויקטיבי]] הוא [[מודול חופשי|חופשי]]<ref>Kaplansky's theorem</ref>.
אם R חוג קומוטטיבי מקומי ו- M האידאל המקסימלי שלו, אז כל איבר מחוץ ל- M הוא [[איבר הפיך|הפיך]].
==
יהי R חוג קומוטטיבי עם יחידה, ו- S תת-קבוצה של R, המכילה את 1 וסגורה לכפל, ואינה מכילה את 0. ה'''[[לוקליזציה (תורת החוגים)|מיקום]] ''' של R ב-S הוא החוג <math>\ S^{-1}R = \{ \frac{a}{s} \ | \ a \in \ R , \ s \in \ S \}</math>, שבו החיבור של שברים מוגדר לפי <math> \frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at + bs}{st} </math>, והכפל לפי <math>\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}</math>. החוג החדש מכיל את החוג R, ויש התאמה חד-חד-ערכית בין [[סריג (מבנה סדור)|סריג]] האידאלים שלו, לסריג האידאלים של R הזרים ל-S.
אם P אידאל ראשוני של R, אז ה'''מיקום של R ביחס ל-P''' הוא החוג <math>\ (R-P)^{-1}R</math>. זהו חוג מקומי, שהאידאל המקסימלי היחיד שלו הוא <math>\ (R-P)^{-1}P</math>.
| |||