קונבולוציית דיריכלה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←תכונות אלגבריות: שינוי לנוסחה שתתאים לטווח שלם |
|||
שורה 19:
קונבולוציית דיריכלה היא [[פעולה קומוטטיבית]] ו[[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]]. היא גם [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיבית]] מעל [[חיבור]] פונקציות (<math>(f+g)(n)=f(n)+g(n)</math>).
תכונות אלו הופכות את קבוצת הפונקציות האריתמטיות ל[[חוג קומוטטיבי]] ביחס לחיבור וקונבולוציית דיריכלה. [[איבר היחידה]] בחוג הוא [[פונקציית היחידה]] <math>\varepsilon</math>, המוגדרת <math>\varepsilon(1)=1</math> ו-<math>\varepsilon(n)=0</math> לכל n>1. ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] בחוג הם אלו המקיימים <math>f(1)=\
:<math>
g(n) =
f\left(\frac{n}{d}\right) g(d)
</math><ref>אם מגדירים את הטווח לרציונליים, פונקציה הפיכת דיריכלה אם <math>f(1)\ne0</math> וצריך להחליף בהגדרה של <math>g</math> את כל המופעים של <math>f</math> ב-<math>\tfrac{1}{f}</math></ref>
הקונבולוציה של שתי [[פונקציה כפלית|פונקציות כפליות]] גם היא כפלית. כל פונקציה כפלית היא הפיכה והופכי דיריכלה שלה גם כן כפלי. הקונבולוציה של שתי פונקציות כפילות במובן החזק אינה בהכרח כפלית במובן החזק.
| |||