אי-שוויון הלדר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: גרסת |
הרחבה |
||
שורה 15:
<math>\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq \left ( \sum_{i=1}^{n} \left | a_ib_i \right | \right )^2</math></div>
== הוכחה ==
יש לשים לב כי מספיק להוכיח את הטענה הבאה לכל <math>\alpha,\beta</math> כך ש <math>\alpha+\beta=1</math> והטענה המופיעה למעלה נובעת באינדוקציה לכל כמות של סדרות:
<math>\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}</math>
'''הוכחה:'''
נשים לב שלכל <math>x,y \geq 0</math> מתקיימת הטענה הבאה: <math>x^\alpha\cdot y^\beta \leq \alpha \cdot x + \beta \cdot y</math>. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי שווין ינסן שהרי <math>log</math> הינה פונקציה קעורה ולכן: <math>\alpha \cdot log(x) + \beta \cdot log(y) \leq log(\alpha \cdot x + \beta \cdot y)</math>.
כעת נסמן <math>S_a = \sum_{i=1}^{n} a_i, S_b = \sum_{i=1}^{n} b_i</math> ולפי הטענה הנ"ל מתקיים <math>\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_i}{S_a} \right )^\alpha \cdot \left ( \frac{b_i}{S_b} \right )^\beta \leq \sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha \cdot \frac{a_i}{S_a} \right) + \sum_{i=1}^{n} \left ( \beta \cdot \frac{b_i}{S_b} \right) = \alpha + \beta = 1</math> נכפיל את שני האגפים ב <math>S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math> ונקבל את אי השוויון הרצוי <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math>
[[קטגוריה:אי-שוויונות]]
| |||