סדר טוב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
הטענה "כל קבוצה ניתן לסדר באמצעות סדר טוב", הקרויה [[משפט הסדר הטוב]], שקולה ל[[אקסיומת הבחירה]] ול[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. עם זאת, בעוד שאקסיומת הבחירה נחשבת סבירה מבחינה אינטואיטיבית, משפט הסדר הטוב מציב קשיים לא מבוטלים. למשל, קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] אמורה להיות ניתנת לסידור טוב, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה. (הסדר הרגיל על המספרים הממשיים בוודאי אינו טוב: בקבוצת המספרים הגדולים מאפס אין איבר מינימלי).
בקבוצה סדורה היטב, לכל איבר (פרט ל[[מקסימום|איבר המקסימלי]], אם יש כזה) יש איבר עוקב מיידי<ref>
איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math> ואין איבר <math>z \in Q</math> כך ש <math>\ y > z > x </math>
וכל חתך<ref>▼
▲איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math> ואין איבר <math>z \in Q</math> כך ש <math>\ y > z > x </math>
תת-קבוצה M היא '''חתך''' של Q אם לכל <math>c \in M </math>, אם <math>\ d < c </math> אז <math> d \in M </math
הוא או הקבוצה כולה או קטע התחלי<ref>'''קטע התחלי (רישא):''' הוא קבוצה מהצורה <math> S_x = \left\{y \in Q : y < x \right\}</math>
▲וכל חתך
▲תת-קבוצה M היא '''חתך''' של Q אם לכל <math>c \in M </math>, אם <math>\ d < c </math> אז <math> d \in M </math>
▲<ref>'''קטע התחלי (רישא):''' הוא קבוצה מהצורה <math> S_x = \left\{y \in Q : y < x \right\}</math>
== מחלקת הקבוצות הסדורות היטב ==
ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על
# '''אי-סימטריות:''' משפט [[משפט_קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור ברנשטיין]] חל גם על סדרים טובים, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math>
# '''השוואתיות:''' כל שני סדרים טובים ניתנים להשוואה, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים, אז או ש <math>\ Q \cong P</math> או ש <math>\ Q \cong P_x </math> (כאשר <math>P_x</math> קטע התחלי של P ) או ש <math> Q_y \cong P </math> (כאשר <math>\ Q_y</math> קטע התחלי של Q).
# '''רפלקסיביות:''' תכונה זו מתקיימת באופן [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] באמצעות [[פונקציית הזהות]].
| |||