השערת הרצף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 18:
ניתן להכליל את השערת הרצף. הגרסה המוכללת אומרת שבין עוצמה אינסופית <math>\ |S|</math> לעוצמת [[קבוצת החזקה]] <math>\ 2^{|S|}</math> (הגדולה ממנה לפי [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]]), אין אף עוצמות אחרות.
השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את [[אקסיומת הבחירה]].
השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את [[אקסיומת הבחירה]]. השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל [[L (תורת הקבוצות)|הקבוצות הניתנות לבנייה]]. למעשה, הוכחת העקביות של הפרת השערת הרצף המוכללת, באופן לא טריוויאלי, ב[[קופינליות|מונים חריגים]] דורשת הנחת [[מונה גדול|מונים גדולים]]. למשל כדי לבנות מודל בו מתקיים <math>2^{\aleph_\omega} > \aleph_{\omega + 1}, \forall n < \omega \,\,2^{\aleph_n} < \aleph_\omega</math> חייבים להניח קיום [[מונה גדול]] חזק יותר מ[[מונה מדיד]]. ראו [[השערת המונה החריג]].▼
השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל [[L (תורת הקבוצות)|הקבוצות הניתנות לבנייה]] ולכן במובן מסויים "קל" להראות את העקביות שלה. בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף.
במונים סדירים, לעומת זאת, '''משפט איסטון''' מראה כי ניתן באמצעות [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם:▼
▲
* המונוטוניות של פונקציית הרצף: אם <math>\kappa < \lambda</math> אז <math>2^{\kappa} \le 2^{\lambda}</math>
* [[משפט קניג (תורת הקבוצות)|משפט קניג]]: <math>\mbox{cf} ( 2^\kappa) > \kappa</math>
▲
==ראו גם==
| |||