הפרדוקס של ראסל – הבדלי גרסאות

'''הפרדוקס של רמיםראסל''' הוא [[פרדוקס]] שהציע ה[[פילוסוף]] וה[[לוגיקן]] [[ברטראנד רמיםראסל]] בשנת [[1901]], במכתב ששלח למייסדה של ה[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], [[גוטלוב פרגה]]. לפרדוקס הייתה השפעה מכרעת על התפתחותה של [[תורת הקבוצות]] ועל התפתחות ה[[מתמטיקה]] בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של רמיםראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום [[תורת הקבוצות הנאיבית]], מביאה ל[[טאוטולוגיה (לוגיקה)|סתירה]], וויתר על השלמת הספר.

מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת ש[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] מוגדרת על-פי ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]] השייכים לה. רמיםראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האיברים השייכים לה.

כדי להציג את הפרדוקס של רמיםראסל, נאמר ש'''קבוצה גדולה''' היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא '''קבוצה קטנה'''.

רמיםראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות, X, ושאל:

הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של רמיםראסל, רמיםוראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בניה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת ה[[טיפוס (לוגיקה מתמטית)|טיפוסים]].

בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא [[תורת הקבוצות האקסיומטית]] שפיתחו [[ארנסט צרמלו|צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל|פרנקל]]. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא [[אקסיומת ההפרדה]], המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של '''קבוצה קיימת'''. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של רמיםראסל '''מוכיח''' ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת, משום שאחרת אפשר היה לבנות ממנה את קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שאינה קיימת לפי הפרדוקס.

רעיון דומה לפרדוקס של רמיםראסל מאפשר להוכיח ש[[קבוצת החזקה]] של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט שהוכיח קנטור]]. לפרטים, ראו [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]].

דרך אינטואיטיבית להסבר הפרדוקס של רמיםראסל היא בעזרת הסיפור על '''ה[[ספרן]] הקפדן''': ספרן העובר בין מדפי ספרייתו, מגלה יום אחד קובץ [[קטלוג]]ים. יש שם קטלוגים נפרדים לשירה, נובלות וביוגרפיות וכו'. הספרן שם לב שחלק מן הקטלוגים כוללים את עצמם וחלק לא. כדי לפשט את העניין עוד יותר, מחליט הספרן להכין שני קטלוגים נוספים: האחד הוא קטלוג שיכיל בתוכו את רשימת כל הקטלוגים שמכלילים את עצמם ועוד קטלוג של קטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם. כעת נשאלת השאלה האם הקטלוג של רשימת הקטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם צריך להכליל את עצמו? <br>

* מריוס כהן, "פרדוקס רמיםראסל", '''[[גליליאו (כתב עת)|גליליאו]]''' 105, מאי 2007.

* {{לא מדויק|848|הפרדוקס של רמיםראסל ומשפט קנטור}}

[[קטגוריה:פרדוקסים|רמיםראסל, פרדוקס של]]