ויקיפדיה

לוגיקה מודלית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
JackieBot (שיחה | תרומות)
7,657 עריכות
מ r2.7.2) (בוט מוסיף: war:Lohika modal
הרחבה, עריכה, עדכון - ערכתי והבהרתי, והסרתי את הבקשה לשכתוב הערך עקב "אי-קריאות כללית"
שורה 1:
לוגיקה מודָלית (modal logic) היא הרחבה של ה[[לוגיקה]] הקלאסית, המאפשרת הגדרה [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלית]] של ביטויים מודליים. ביטויים מודליים הם למשל כאלה המאפיינים את [[אמת (פילוסופיה)|אמיתותם]] של משפטים, כגון "הכרחי" ו"אפשרי". לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל את ה[[אופרטור]]ים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל "בהכרח יורד גשם" או "אפשרי שיורד גשם". הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים [[דאונטולוגיה|דאונטיים]] (מושגי החובה וההיתר המוסרי, אותם ניתן להחיל על טענות הקובעות מה ראוי, מה אסור, ומה מותר) ו[[לוגיקה טמפורלית|טמפורליים]] (המאפשרת להביע את המובן הזמני של טענות כאופרטורים החלים על טענות לא-זמניות, וכך לייצג קשרי היסק לוגיים בין טענות אלו), וכן בתחומים שונים, למשל בתורת הידיעה ([[אפיסטמולוגיה]]) וב[[הסתברות]].
{{שכתוב|סיבה=אי קריאות כללית|נושא=מדעי הרוח}}
'''לוגיקה מודָלית''' (מהמלה ה[[לטינית]] modus - מצב, אופן, דרך) היא הרחבה של ה[[לוגיקה]] הקלאסית, המספקת אפשרות להגדרה [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלית]] של ביטויים '''מודאליים'''. ביטויים מודאליים הם כאלה המתארים את [[אמת (פילוסופיה)|אמיתותם]] של משפטים, כאשר המוכרים והבסיסיים ביותר הם הביטויים "הכרחי" ו"אפשרי". לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל ביטויים מודאליים כמו "בהכרח יורד גשם" או "ייתכן שיורד גשם". הביטויים המודאליים הקלאסיים הם הכרח, אפשרות, חוסר-אפשרות וקונטינגנטיות. בין המושגים מתקיימים קשרים לוגיים המאפשרים להגדירם אחד מתוך השני: אפשרי הוא מה ששלילתו אינה הכרחית, לא-אפשרי הוא מה ששלילתו הכרחית וקונטינגנטי הוא מה ששלילתו אפשרית.
הביטויים המודאליים הבסיסיים 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-', מיוצגים בלוגיקה המודלית על ידי ה[[אופרטור]]ים <math>\Box</math> ו- <math>\Diamond</math> בהתאמה. כך, למשל, אם ה[[פסוק (לוגיקה)|פסוק]] <math>p</math> ייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כ- '''<math>\Box p</math>''' ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כ- '''<math>\Diamond p</math>'''.
בנוסף לביטויים המודאליים הקלאסיים שתוארו לעיל, ישנם ביטויים מודאליים נוספים, כמו ביטויים של [[הסתברות]]. פיתוחים מאוחרים יותר של הלוגיקה המודאלית (לוגיקה מודאלית לא-קלאסית) מכילים הגדרות לביטויים מודאליים אלה. האופרטורים <math>\Box</math> ו-<math>\Diamond</math>, המייצגים בלוגיקה המודאלית הקלאסית את הביטויים "הכרחי" ו"אפשרי", מייצגים מגוון של ביטויים מודאליים בפיתוחים המאוחרים.
 
[[סמנטיקה]] מקובלת ללוגיקה מודלית היא סמנטיקה של [[עולמות אפשריים]], אשר מניחה את קיומם התאורטי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, '''האקטואלי''', במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי היתכנות לוגית. תחת סמנטיקה זו, הטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית בכל העולמות האפשריים, ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית לפחות בעולם אפשרי אחד.
 
==הביטויים המודליים הבסיסיים==
למעשה, לוגיקה מודלית הנו שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, כשממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות שמטרתן לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון [[לוגיקה טמפורלית]] לייצוג ביטויים של [[זמן]] (לפני, אחרי וכדומה), [[לוגיקה אפיסטמית]] לייצוג ביטויי [[ידיעה]] (לדעת ש...), [[לוגיקה דוקססטית]] לביטויי [[אמונה]] (להאמין ש...), [[לוגיקה דיאונטית]] לביטויים [[נורמטיבי]]ים (צריך ש..., מותר ל...), ו[[לוגיקה דינמית]] לתיאור שינויים.▼
הביטויים המודליים הקלאסיים הם הכרח, אפשרות, חוסר אפשרות, וקונטינגנטיות. ישנם קשרים לוגיים המאפשרים להגדיר מושגים אלו אחד מתוך השני: אפשרי הוא מה ששלילתו אינה הכרחית, הכרחי הוא מה ששוללים את אפשרות שלילתו, לא-אפשרי הוא מה ששלילתו הכרחית וקונטינגנטי הוא מה ששלילתו אפשרית. נהוג להשתמש בשניים מבין הביטויים המודליים הללו בלבד: 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-'. אלו מיוצגים בלוגיקה המודלית על ידי ה[[אופרטור]]ים <math>\Box</math> עבור הכרח ו- <math>\Diamond</math> עבור אפשרות. כך, למשל, אם ה[[פסוק (לוגיקה)|פסוק]] <math>p</math> מייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כך:
:'''<math>\Box p</math>'''
ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כך:
:'''<math>\Diamond p</math>'''.
 
מאפיין סמנטי חשוב המבדיל בין המערכות השונות של הלוגיקה המודלית מבוסס על [[הגדרה#מושג יסודי|המושג היסודי]] '''נגישות''', שאינו מוגדר. מפרשים מושג זה כקובע לגבי כל עולם ב'''מערך''' נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך רלוונטיים לו. כאשר נעשה שימוש במאפיין סמנטי זה מתקבלות ההגדרות הבאות: הטענה 'הכרחי ש-<math>p</math>' היא אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה '<math>p</math>' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו, ואילו הטענה 'אפשרי ש-<math>p</math>' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה '<math>p</math>' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.▼
 
▲האופרטורים <math>\Box</math> ו-<math>\Diamond</math>, המייצגים בלוגיקה המודלית הקלאסית את הביטויים האלתיים (alethic) "הכרחי" ו"אפשרי", ניתנים גם לשימוש במגוון של ביטויים מודליים אחרים. למעשה, לוגיקה מודלית הנו שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, כשממערכותאשר נקבעים על ידי המערכות האקסיומטיות השונות שלהן. ממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות שמטרתן לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון [[לוגיקה טמפורלית]] לייצוג ביטויים של [[זמן]] (לפני, אחרי וכדומה), [[לוגיקה אפיסטמית]] לייצוג ביטויי [[ידיעה]] (לדעת ש...), [[לוגיקה דוקססטית]] לביטויי [[אמונה]] (להאמין ש...), [[לוגיקה דיאונטיתדאונטית]] לביטויים [[נורמטיבי]]ים (צריךראוי ש..., מותר ל...), ו[[לוגיקה דינמית]] לתיאור שינויים.
כך, למשל, במערכת המודלית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא [[אקראיות|אקראית]]. במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא '''[[רפלקסיביות|רפלקסיבית]]''', כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו. במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית ו'''[[סימטריה|סימטרית]]''' (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n). במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית ו'''[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבית]]''' (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), וב[[הנחה S5|מערכת S5]], שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא '''[[אוניברסליות|אוניברסלית]]''' (כל עולם נגיש לכל עולם).▼
 
 
==סמנטיקה של עולמות אפשריים עבור לוגיקה מודלית==
[[סמנטיקה]] מקובלת ללוגיקה מודלית כוללת מסגרת, או קבוצה של [[עולמות אפשריים]], ויחס בינרי של "נגישות" בין עולמות אלו. סמנטיקה של עולמות אפשריים מפרשת את הטענה על מה שאפשרי כטענה על מצב עניינים ב"עולם" מסויים, את הטענה על מה שהכרחי כטענה על מצב העניינים "בכל העולמות האפשריים", ואת הטענה על הבלתי אפשרי כטענה על מה שאינו מצב העניינים "באף עולם אפשרי". פרשנויות מסוימות של "עולמות אפשריים", כמו זו של [[דייויד לואיס]], הן ראליסטיות, והן מניחות את קיומם הממשי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, '''האקטואלי''', במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי היתכנות לוגית.
 
 
===יחס הנגישות בסמנטיקה של עולמות אפשריים===
▲מאפיין סמנטי חשוב המבדיל בין המערכות האקסיומטיות השונות של הלוגיקה המודלית מבוסס עלהוא [[הגדרה#מושגהאופן יסודי|המושגבו היסודי]]יחס ה'''נגישות''', שאינו מוגדר. מפרשים מושג זההנגישות כקובעקובעת לגבי כל עולם ב'''מערך'''במערך נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך רלוונטיים לו. כאשרכך נעשהניתן, שימושלמשל, במאפיין סמנטי זה מתקבלות ההגדרות הבאות: הטענהלהגדיר ש'הכרחי ש-<math>p</math>' היא טענה אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה '<math>p</math>' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו (ולאו דווקא אם היא אמיתית בכל העולמות האפשריים בכלל), ואילו הטענה 'אפשרי ש-<math>p</math>' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה '<math>p</math>' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.
 
▲כך, למשל, במערכת המודליתהאקסיומטית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא [[אקראיות|אקראית]]. במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא '''[[רפלקסיביות|רפלקסיבית]]''', כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו. במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית ו'''[[סימטריה|סימטרית]]''' (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n). במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית ו'''[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבית]]''' (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), וב[[הנחה S5|מערכת S5]], שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא '''[[אוניברסליות|אוניברסלית]]''' (כל עולם נגיש לכל עולם).
 
 
==תולדות הלוגיקה המודלית==
על אף שיש לה תקדימים אצל אריסטו ואצל ממשיכיו, הלוגיקה המודלית המודרנית, המבוססת על מערכות אקסיומטיות, נוסדה בראשית המאה העשרים על ידי [[סי.איי. לואיס]], שגם הציעה את התיווי המקובל למונחי האפשרות וההכרח. הלוגיקה המודלית זכתה לתנופה החל ממחצית המאה, בעבודתה של [[רות ברקן מרקוס]]. העידן הנוכחי בלוגיקה המודלית החל ב-1959, בעבודתו של [[סול קריפקה]], שסיפק את התורה הסמנטית המקובלת עבורה ואיפשר לנסח הוכחות [[שלמות]] עבור הלוגיקה המודלית.
 
[[קטגוריה:לוגיקה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/לוגיקה_מודלית"