המבנה הדק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה |
מ הגהה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Fabry Perot Etalon Rings Fringes.png|שמאל|ממוזער|200px|תמונת [[התאבכות]] המראה את פיצול המבנה הדק עבור אטום [[
ב[[פיזיקה אטומית]], '''תיקוני המבנה הדק''' מתארים את הפרדות [[הרחבות ספקטרליות|הקווים הספקטרליים]] של [[אטום|אטומים]] בגלל תיקונים יחסותיים מסדר ראשון.
הספקטרום הראשי של [[אטום המימן]] הוא הספקטרום המצופה ללא תיקונים [[תורת היחסות|יחסותיים]] וללא התייחסות ל[[ספין]] והשפעותיו. עבור אטום המימן רמות האנרגיה בספקטרום הראשי מושפעות רק [[אטום המימן#מאפיינים מתמטיים של הפתרון|מהמספר הקוונטי]] הראשי, n ואילו מודל מדויק יותר יקח בחשבון גם אפקטים יחסותיים ואפקטים הקשורים בספין [[אלקטרון|האלקטרון]]. כאשר מתחשבים באפקטים אלו נעלם [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]] רמות האנרגיה הנחזה [[משוואת שרדינגר|ממשוואת שרדינגר]] והקווים הספקטרליים מתפצלים.
גודל תיקון המבנה הדק קטן פי <sup>2</sup>(''Zα''), כאשר ''Z'' הוא [[מספר אטומי|המספר האטומי]] ו-''α'' הוא [[קבוע המבנה העדין|קבוע המבנה הדק]], מספר חסר יחידות השווה בקירוב ל<math>1/137</math>.
המבנה הדק בנוי משלושה איברי תיקון: איבר [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] (איבר מסה), איבר צימוד ספין-מסלול, ו"איבר דרווין". [[המילטוניאן|ההמילטוניאן]] המלא נתון על ידי:
: <math>H=H_{0}+H_{\mathrm{kinetic}}+H_{\mathrm{so}}+H_{\mathrm{Darwinian}}\!</math>.
כאשר <math>H_0</math> הוא ההמילטוניאן המקורי (כלומר ללא התחשבות בספין ותיקונים יחסותיים).
== רקע ==
{{ערך מורחב|אטום המימן}}
על פי המודל הקוונטי הבסיסי של אטום המימן, ישנם [[אורביטל אטומי|אורביטל]]ים ([[פונקציית גל|פונקציות גל]] אלקטרוניות, או בשפה ציורית יותר מסלולי האלקטרונים) הממוספרים לפי שלושה מספרים קוונטיים: <math>n,\ell, m</math>: המספר <math>n</math> הוא המספר הקוונטי הראשי, ונקרא גם רמת האנרגיה, והוא היחיד (במודל הפשוט) אשר משפיע על אנרגיית הארביטלים. המספרים <math>\ell, m</math> מייצגים [[תנע זוויתי]] ואינם משפיעים על האנרגיה של האורביטל. מצב כזה, שבו מספר אלקטרונים חולקים את אותה רמת אנרגיה נקרא [[ניוון (פיזיקה)|ניוון קוונטי]]. בפועל מתברר שרמות האנרגיה באטום אינן מנוונות, לפי ניסויי [[ספקטרוסקופיית בליעה אטומית]] שבהם מודדים את הפרש האנרגיה בין הרמות. במילים אחרות ישנו הבדל אנרגטי בין מצבים שונים בעלי אותו מספר קוונטי ראשי. מודלים מורכבים יותר, אשר לוקחים בחשבון תיקונים יחסותיים ואחרים למודל הפשוט, מנבאים בצורה מדויקת מאוד את רמות האנרגיה של אטום המימן, והמודל המדויק ביותר (מדויק לחלוטין עד כדי דיוק הניסויים כיום) הוא [[אלקטרודינמיקה קוונטית]].
== איבר האנרגיה הקינטית (איבר מסה) ==
בדרך כלל, איבר ה[[אנרגיה קינטית]] של ה[[המילטוניאן]] נתון על ידי
: <math>T=\frac{p^{2}}{2m}.</math>
כאשר m זו מסת החלקיק וp הוא ה[[תנע]] הקווי שלו. עם זאת, כאשר מתחשבים ב[[תורת היחסות הפרטית|יחסות פרטית]] יש להשתמש בצורה יחסותית של אנרגיה קינטית,
: <math>T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2},</math>
כאשר האיבר הראשון הוא סך האנרגיה היחסותית והאיבר השני הוא [[E=mc²|אנרגיית המנוחה]] של האלקטרון (c היא [[מהירות האור]]). נפתח את הביטוי הזה לטור, בעזרת [[טור טיילור|טורי טיילור]] ונקבל
: <math>T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\cdots.</math>
מכאן קיבלנו שהתיקון בסדר ראשון להמילטוניאן הוא:
: <math>H_{\mathrm{kinetic}}=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}.</math>
שורה 29 ⟵ 40:
כש <math>\psi^{0}</math> היא פונקציית הגל הלא מופרעת. ניזכר בהמילטוניאן הלא מופרע ונשים לב כי
: <math>H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle </math>
שורה 49 ⟵ 61:
כאשר:
: <math> E_n = - \frac{e^2}{2 a_0 n^2} </math>
בחישוב האחרון קיבלנו כי סדר הגודל של התיקון היחסותי לאנרגיה הוא <math> -9.056 \times 10^{-4}\ \text{eV}</math>.
'''הערה: ''' במציאות, <math>p^{4}</math> הוא לא [[אופרטור הרמיטי]] עבור אטומים דמויי אטום מימן במצב-s <math>(l = 0)</math>. השימוש ב[[תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)|תורת ההפרעות]] דורשת שההמילטוניאן המופרע יהיה הרמיטי. לכן ההוכחה למעלה לא לחלוטין ריגורוזית כש <math>l = 0</math>. למרות זאת מהשוואה עם התוצאה המדויקת (תוך שימוש ב[[משוואת דיראק]]) מראה שהתוצאה למעלה נכונה עבור התיקון מסדר ראשון אפילו כש <math>l = 0</math>.
== איבר צימוד ספין-מסלול ==
: <math>H_{so}=\frac{1}{2} \left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\left(\frac{g_s}{2m_{e}^{2}c^{2}}\right)\frac{\vec L\cdot\vec S}{r^{3}}</math>
איבר התיקון השני, איבר הצימוד [[ספין]]-ממסלול, נובע מעבודה [[מערכת יחוס|במערכת היחוס]] של האלקטרון בה האלקטרון נייח ואילו הגרעין מקיף אותו לעומת מערכת היחוס הסטנדרטית בה ה[[אלקטרון]] מקיף את הגרעין.
במצב זה ניתן להתייחס לגרעין המקיף את האלקטרון כלולאת זרם היוצרת [[שדה מגנטי]] <math>\vec B</math>. בנוסף לכך לאלקטרון עצמו יש [[ספין|תנע זוויתי אינטרינזי (ספין)]]. בין השדה המגנטי <math>\vec B</math> לבין [[מומנט מגנטי|המומנט המגנטי]] <math>\vec\mu_s</math> יש צימוד ומכאן מתקבל התיקון הבא:
: <math> \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S</math>
נשים לב כי ישנו פקטור <math>\frac {1}{2}</math> לתיקון זה. הפקטור הזה נובע מכך שעברנו למערכת היחוס הלא אינרציאלית של האלקטרון. תוספת זו התגלתה על ידי לואלין תומאס והיא נקראת "פקטור תומאס" על שמו.
מכיוון ש
: <math> \left\langle \frac {1}{r^3} \right\rangle = \frac {1}{n^3 a_0^3} \frac {1} {l (l+\frac{1}{2}) (l + 1)}</math>
שורה 76 ⟵ 90:
ולכן סדר הגודל של איבר התיקון צימוד ספין-מסלול הוא <math> \frac{Z}{n^3} 10^{-5}\text{ eV}</math>.
'''הערה: ''' רמות האנרגיה תלויות [[היחס הג'ירומגנטי|בפקטור הג'ירומגנטי]], שהוא גודל הקושר בין המומנט המגנטי <math>\mu</math> לספין <math>s</math> והוא אחת מתכונות החלקיק. עבור אלקטרון הוא בקירוב <math>2</math>, עבור [[פרוטון]] כ <math>2.79</math> ועבור [[נייטרון]] ערכו <math>-1.91</math>.
רמות האנרגיה (n,l,s)=(n,0,1/2) ו (n,l,s)=(n,1,-1/2) זהות לאחר תיקון המבנה הדק, כאשר משתמשים בפקטור ג'ירומגנטי 2. עבור תיקונים בסדרים גבוהים יותר יש להשתמש בפקטור ג'ירומגנטי של 2.0031904622.
מהכללה לכל סדר של התיקונים היחסותיים ([[משוואת דיראק]]) מוצאים שלזוג רמות האנרגיה האלו יש ניוון (רמות האנרגיה זהות), אך מאוחר יותר נתגלה שאין ניוון כתוצאה [[תורת
== איבר דרווין ==
<math> E_{\mathrm{Darwin}}=\frac{\hbar^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}\,4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\delta^{3}\left(\vec r\right)</math>
שורה 98 ⟵ 113:
== האפקט הכולל ==
האפקט הכולל הוא סכום של שלושת האפקטים והוא ניתן על ידי הביטוי הבא <ref>{{Cite book
| publisher = Butterworth-Heinemann
שורה 114 ⟵ 130:
נציין גם כי אל תוצאה זו הגיע ראשון [[ארנולד זומרפלד]] על בסיס תאוריית בוהר הישנה (התאוריה הקוונטית הישנה), לפני שהומצאה [[מכניקת הקוונטים|תאוריית הקוונטים המודרנית]].
[[קובץ:
== ראו גם ==
* [[מכניקת הקוונטים]]
* [[קבוע המבנה העדין|קבוע המבנה הדק]]
* [[המבנה העל דק]]
== לקריאה נוספת ==
{{Reflist}}
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn=0-13-805326-X}}▼
* {{cite book | author=
▲* {{cite book | author=
== קישורים חיצוניים ==
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/quantum/hydfin.html#c1 המבנה הדק], אתר hyperphysics {{אנגלית}}
* [http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node107.html המבנה הדק של אטום המימן], אתר אוניברסיטת טקסס {{אנגלית}}
| |||