משוואה דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

מ (בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q11214)
 
כדי להקל על כתיבת המשוואה מסומנות בדרך כלל הפונקציות (ונגזרותיהן) באות בודדת בלבד.
 
===פתרון משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון===
 
באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>a_0(x)y'+a_1(x)y=f(x)</math> כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא <math>y</math>. אם <math>a_0(x)\equiv 0</math> אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך. (אומרים ש- <math>a_0(x)\equiv 0</math> אם מתקיים שלכל x בתחום, <math>a_0(x)=0</math>)
{{ש}}
לכן, נניח כי <math>a_0(x)\not\equiv 0</math>. לכן, מותר לחלק ב- <math>a_0(x)</math> ולקבל משוואה מהצורה <math>y'+\frac{a_1(x)}{a_0(x)}y=\frac{f(x)}{a_0(x)}</math>.
{{ש}}
נסמן <math>p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}, q(x)=\frac{f(x)}{a_0(x)}</math> ונקבל משוואה מהצורה: <math>y'+p(x)\cdot y=q(x)</math> ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.{{ש}}
 
דוגמה:{{ש}}
נרצה לפתור את המשוואה <math>y'+\frac{1}{x}y=\frac{\sin(x)}{x}</math>
{{ש}}
נכפיל את 2 האגפים ב- <math>x</math> ונקבל: <math>xy'+y=\sin(x)</math>
{{ש}}
אך אגף שמאל הוא בדיוק שווה ל- <math>(xy)'</math> ולכן נקבל:
 
<math>(xy)'=\sin(x)</math>
 
<math>xy=\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C</math>
 
<math>y=\frac{-\cos(x)}{x}+\frac{C}{x}</math>
 
ואכן, לכל <math> C \in \mathbb{R} </math> שנבחר, הפונקציה שתתקבל פותרת את המשוואה
 
כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הלינאריות מסדר ראשון.
 
שיטה אחת היא, בדומה לדוגמה, למצוא פונקציה <math> \mu(x) </math> כך שכשנכפיל את כל המשוואה בה, נקבל באגף שמאל את הנגזרת של <math> \mu(x) y </math> ואז רק נשאר לבצע אינטגרציה על 2 האגפים ולקבל <math>\mu(x)y={\int q(x)\mu(x)dx}</math> ומשם לחלק ב- <math> \mu(x) </math> ולהגיע לפתרון. השאלה היא מהי אותה <math> \mu(x) </math>. {{ש}}
נראה כי אנחנו בעצם דורשים: <math>(\mu(x)y)'=\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y</math> (חיפשנו פונקציה שע"י כפל שלה במשוואה, נקבל את הנגזרת של (הפונקציה כפול y)){{ש}}
נראה כי <math>(\mu(x)y)'=\mu(x)y'+\mu'(x)y</math> ולכן בהכרח מתקיים <math>\mu'(x)=\mu(x)p(x)</math> ולכן <math>\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x)</math>. מכאן נגיע לתוצאות הבאות:{{ש}}
<math>(\ln(\mu(x))'=p(x)\Rightarrow \ln(\mu(x))=\int p(x)dx\Rightarrow \mu(x)=e^{\int p(x)dx}</math>
{{ש}}
ואכן, כפל המשוואה בפונקציה זאת, תמיד יגרום לנו לקבל באגף שמאל נגזרת של <math> \mu(x)y</math> וכל מה שנשאר לעשות זה אינטגרציה וחילוק ב- <math>\mu(x)</math>
 
==קישורים חיצוניים==
198

עריכות