השערת המונה החריג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קטגוריה:תורת הקבוצות באמצעות HotCat |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
# אם <math>2^{\mbox{cf } \mu} < \mu</math> אז <math>\mu^{\mbox{cf } \mu} = \mu^{+}</math>
הגרסה השניה גוררת את הראשונה, ואינה נובעת ממנה (<math>\mbox{cf} (\kappa)</math> היא ה[[קופינליות]] של <math>\kappa</math>).
כיוון ש[[השערת הרצף המוכללת]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] ביחס ל-[[ZFC]], לפי תוצאה של [[קורט גדל|גדל]], השערת המונה החריג היא עקבית.
לעומת זאת, בניגוד למצב הקיים במונים סדירים, קיימות מגבלות לא טריוויאלית על
לאורך הערך, הפונקציה <math>\kappa \rightarrow 2^{\kappa}</math> המקבלת [[מספר מונה|מונה]] <math>\kappa</math> ומחזירה את [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלו, תיקרא "פונקציית הרצף".
== רקע ==
זמן קצר יחסית לאחר פיתוח שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] על ידי [[פול כהן]] והדגמת אי התלות של השערת הרצף, בשנת [[1970]], פירסם [[ויליאם אסטון]] כפייה המאפשרת לקבל ערכים כרצוננו לפונקציית הרצף, עבור כל המונים הסדירים. המגבלות היחידות היו המונוטוניות של פונקציית הרצף ו[[משפט קניג (תורת הקבוצות)|משפט קניג]], <math>\mbox{cf}(2^{\kappa}) > \kappa</math>. תוצאה זאת נקראת '''משפט אסטון'''.
משפט אסטון לא מטפל בערכים שמקבלת פונקציית הרצף במונים חריגים, ולכן באופן טבעי עלתה השאלה האם ניתן לשנות את ערכי פונקציית הרצף במונים חריגים בצורה שרירותית, עד כדי
== מגבלות ב-ZFC ==
בשנת [[1975]] פורסמו תוצאות ראשונות שהדגימו את המגבלות הנוספות שקיימות בהפרת השערת הרצף במונים חריגים. [[ג'ק סילבר]] הוכיח כי לא ניתן להפר את השערת הרצף בפעם הראשונה במונה חריג
זמן קצר לאחר מכן פורסם משפט Hajnal-Galvin. המשפט קבע כי אם <math>\aleph_\alpha</math> מונה חריג עם קופינליות לא [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]], אז <math>2^{\aleph_{\alpha}} < \aleph_{\gamma}</math> כאשר <math>\gamma = (2^{|\alpha|})^{+}</math>.
משפטים אלו הסבירו חלק מהקושי בקביעת ערכים שרירותיים לפונקציית הרצף של מונים חריגים. לפני פרסום משפט סילבר, הדעה הרווחת היתה שמשפט אסטון לא מטפל במונים חריגים מסיבות טכניות בלבד וכי שיפורים בשיטת הכפייה יובילו לתוצאות אי תלות הדומות לאלו שהתקבלו במונים הסדירים. משפט סילבר הדגים כי הבעיות
בשנת [[1978]], [[שהרן שלח]] התחיל לפרסם תוצאות מתורת ה-pcf, אותה הוא פיתח. הרעיון הכללי שבבסיס תורה זו הוא שניתוח נכון של התנהגות אריתמטיקת המונים במונים חריגים ינבע מהבנה של יחסי סדר מהצורה <math>\prod_{i \in A} \lambda_i / I</math>, כאשר <math>\lambda_i</math> מונים סדירים שגבולם המונה החריג בו אנו מתעניינים ו-I הוא [[מסנן (תורת הקבוצות)|אידאל]] על קבוצת האינדקסים A. רעיונות דומים, בצורה הרבה פחות מפותחת, הופיעו בהוכחות של משפט סילבר ומשפט Hajnal-Galvin. שיטה זו אפשרה להשיג תוצאות על התנהגות פונקציית הרצף במונים חריגים מקופינאליות בת מנייה. במסגרת הזו, בשנת [[1982]], שלח הוכיח את החסם המפורסם:
שורה 24:
חסם זה לא שופר מאז.
==תוצאות אי תלות ==
כדי להוכיח את עקביות שלילת השערת המונה החריג יש להניח קיום [[מונה גדול|מונים גדולים]] למדי. קיים קשר הדוק בין שלילת SCH לבין שלילת השערת הרצף במונה מדיד. בכיוון אחד, הסיבה היא קיום כפייה (הנקראת כפיית פריקרי, Prikry Forcing) שהופכת מונה מדיד למונה חריג
[[מוטי גיטיק]] הוכיח כי [[חוזק התיישבות|חוזק ההתיישבות]] של שלילת SCH הוא בדיוק קיום [[מונה מדיד]] <math>\kappa</math>
[[מנחם מגידור]] הוכיח כי שלילת SCH במונה המינימלי האפשרי, <math>\aleph_\omega</math>, היא עקבית תחת הנחת קיום מונה על קומפקטי. במודל שמתקבל, מתקיים <math>2^{\aleph_n} = \aleph_{n+1}</math> לכל מספר טבעי אבל <math>2^{\aleph_\omega} = \aleph_{\omega + 2}</math>. תוצאה זו מדגימה כי משפט סילבר אינו תקף במונים מקופינאליות בת מנייה. בהמשך, מגידור ושלח שיפרו את הבנייה הזו והראו כי ניתן להשיג <math>2^{\aleph_\omega} = \aleph_{\beta + 1}</math> לכל סודר בן מנייה אינסופי <math>\beta</math>.
השאלה האם ייתכן כי <math>2^{\aleph_\omega} > \aleph_{\omega_1}</math>, כאשר <math>\aleph_\omega</math> גבולי חזק, היא [[בעיה
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
| |||