מונה קומפקטי חלש – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[תורת הקבוצות]], '''מונה קומפקטי חלש''' ('''Weakly Compact Cardinal''') הוא סוג של [[מונה גדול]].
מונה קומפקטי חלש הוגדר על ידי [[פול ארדש]] ו[[אלפרד טרסקי]] בשנת 1961 במונחים קומבינטוריים. זמן קצר לאחר מכן, האנף (Hanf) ו[[דנה סקוט|סקוט]] הוכיחו את השקילות בין ההגדרה הקומבינטורית של קומפקטיות חלש למושג ה-<math>\Pi_1^1</math> אי-תאירות. בהמשך, האנף חקר לוגיקות אינסופיות והוכיח כי משפט הקומפקטיות החלש יכול לשמש כהגדרה אלטרנטיבית למונים קומפקטיים חלשים.
מונה קומפקטי חלש נחשב לקטן יחסית מבין המונים הגדולים - קיומו [[עקביות (לוגיקה)|מתיישב]] עם [[אקסיומת הבנייה]] (V=L), ולכן הוא חלש יותר מ-[[אפס נסק|0<sup>#</sup>]], ובפרט מ[[מונה מדיד]]. מתחת למונה הקומפקטי-חלש הראשון יהיו [[מונה מאהלו|מוני מאהלו]] רבים ובפרט [[מונה אי נשיג|אי נשיגים]] רבים.
מונה κ, שאינו [[בן מניה]], ייקרא מונה קומפקטי חלש ('''Weakly Compact Cardinal''') אם κ מקיים את תכונת החלוקה f'': κ → (κ)<sup> 2 </sup>, כלומר, עבור כל פונקציה ''f'': [κ] <sup> 2 </sup> → {0, 1} <span style="color:white;">x</span> קיימת תת-קבוצה H של κ בעוצמה κ, כך ש-f'' קבועה על <sup>2</sup>[H]. כאשר κ=ω, תכונת החלוקה מתקיימת כ[[מקרה פרטי]] של הגרסה האינסופית ל[[משפט רמזי]]. לעומת זאת, לא ניתן להוכיח את תכונת החלוקה ב-[[ZFC]] עבור κ שאינו בן מניה, עובדה זו הופכת אותה לתכונה של [[מונים גדולים]].▼
לאורך הערך נניח כי קיום מונה קומפקטי חלש הוא [[עקביות (לוגיקה)|עקבי]] ביחס ל-[[ZFC]].
== הגדרות קומבינטוריות ==
* מונה κ הוא קומפקטי חלש [[אם ורק אם]] κ [[מונה אי נשיג|אי נשיג]] ומקיים את תכונת העץ: עבור כל [[עץ (תורת הקבוצות)|עץ]] שגובהו κ ועוצמת כל אחת מהקומות שלו קטנה מ-κ, קיים ענף בגובה κ. תכונת העץ היא למעשה הכללה של [[עץ ארונשיין|עצי ארונשיין]] עבור מונים גדולים מ-<math>\omega_1</math>.▼
=== תכונת החלוקה ===
* מונה κ הוא קומפקטי חלש אם ורק אם κ הוא <math>\Pi^1_1</math> - בלתי ניתן לתאור: עבור כל S ⊆ V<sub>κ</sub> ועבור כל פסוק <sub></sub> φ מסוג <math>\Pi^1_1</math> שהינו אמיתי ב-(V<sub>κ</sub>, ∈, S), קיים α < κ כך ש-<sub></sub> φ אמיתי ב-(V<sub>α</sub>, ∈, S ∩ V<sub>α</sub>).▼
▲מונה κ, שאינו [[בן מניה]], ייקרא מונה קומפקטי חלש
* מונה κ שמקיים את תכונת החלוקה f: κ → (κ)<sup> < ω </sup> ייקרא '''מונה רמזי'''. כל מונה רמזי הוא קומפקטי חלש, אבל לא להיפך. מוני רמזי הם גדולים יותר ממונים קומפקטיים-חלש וקיומם אינו מתיישב עם [[V=L]].▼
נעיר כי כאשר κ=ω, תכונת החלוקה מתקיימת כ[[מקרה פרטי]] של הגרסה האינסופית ל[[משפט רמזי]], ולכן הוספנו את הדרישה כי κ אינו בן מנייה.
== קומפקטיות בשפות אינסופיות ==▼
ניתן לאפיין מונים קומפקטים חלשים בעזרת מונחים מ[[תורת המודלים]]. מאפיינים אלו העניקו למונים את שמם. ▼
▲
[[משפט הקומפקטיות]] ב[[שפה מסדר ראשון]] מבטיח לנו שלאוסף גדול כרצוננו של פסוקים, אך לכל תת-קבוצה סופית מתוכו יש מודל, אז יש גם מודל עבור האוסף המלא. ▼
=== תכונת העץ ===
▲
הדרישה ש-κ יהיה אי נשיג הכרחית כדי לקבל שקילות עם התכונה הקודמת. התקיימות תכונת העץ ב-<math>\omega_2</math> היא עקבית (אם כי [[חוזק התיישבות|חוזק ההתייישבות]] שלה הוא של קיום מונה קומפקטי חלש).
הלוגיקה הסטנדרטית מסדר ראשון לא מאפשרת נוסחאות באורך אינסופי. לכן למשל, לא ניתן לנסח בשפה של שדות סדורים את העובדה שכל מספר ממשי חסום על ידי מספר טבעי (כלומר שהשדה הממשי הוא [[שדה ארכימדי|ארכימדי]]), ובהתאם יש מודל לא ארכימדי שמקיים את כל המשפטים אותם מקיים השדה הממשי. ▼
== תכונת אי תאירות ==
▲
פסוק [[לוגיקה מסדר שני|מסדר שני]] הוא <math>\Pi^1_1</math> אם הוא מהצורה: <math>\forall X \phi(X)</math> כאשר הכמת הכולל על X מכמת על פני כל תתי הקבוצות של המודל, והפסוק <math>\phi</math> הוא פסוק מסדר ראשון שמשתמש ב-X כפרמטר (האינדקס העליון מייצג את סדר השפה, כאשר 0 מתאים ללוגיקה מסדר ראשון. האינדקס התחתון מייצג את מספר חילופי הכמתים מהסדר המקסימלי).
במובן הזה, לא ניתן לתאר את κ כמונה הראשון בו מתקיימת תכונה מסויימת ב-<math>V_\kappa</math> (אפילו כאשר אנחנו מתירים שימוש בכמת כולל אחד מסדר שני ובפרמטר שמייצג קבוצה כלשהי) - תמיד יהיה סודר קטן יותר בו התכונה הזו מתקיימת במודל הקטום <math>V_\alpha</math>.
המונה הקומפקטי-חלש הראשון אינו <math>\Pi^1_2</math> אי-תאיר, כי ניתן לתאר אותו על ידי המשפט "לכל פונקציה מאוסף הזוגות ל-{0,1} קיימת תת קבוצה הומוגנית".
▲== קומפקטיות בשפות אינסופיות ==
▲ניתן לאפיין מונים קומפקטים חלשים בעזרת מונחים מ[[תורת המודלים]]. מאפיינים אלו העניקו למונים את שמם.
▲ב[[
דרך אפשרית להרחבת השפה היא מעבר ללוגיקה L<sub>a,b</sub>, בה אנחנו מתירים ל[[כמת (לוגיקה)|כמת]] על פני סדרות באורך קצר מ-b של משתנים ולבצע גימום או אירור על פני סדרות נוסחאות באורך קצר מ-a. ▼
▲הלוגיקה הסטנדרטית מסדר ראשון לא מאפשרת נוסחאות באורך אינסופי. לכן למשל, לא ניתן לנסח בשפה של שדות סדורים את העובדה שכל מספר ממשי חסום על ידי מספר טבעי (כלומר שהשדה הממשי הוא [[שדה ארכימדי|ארכימדי]]), ובהתאם יש מודל לא ארכימדי שמקיים את כל המשפטים מסדר ראשון אותם מקיים השדה הממשי ([[אנליזה לא סטנדרטית]] מנצלת את העובדה הזו).
▲דרך אפשרית להרחבת השפה היא מעבר ללוגיקה
'''משפט הקומפקטיות החלש''' הוא
אם κ מונה קומפקטי חלש, אז השפה <math>\,\mathit{L}_{{\kappa},\kappa}</math> מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש. כמו כן, כאשר κ
▲'''משפט הקומפקטיות החלש''' הוא דרישה חלשה יותר: אם Σ קבוצת פסוקים שעוצמתה אינה עולה על κ, כך שכל תת-קבוצה שלה בעוצמה קטנה מ-κ הינה עקבית, אז קיים מודל לכל Σ.
ממשפט הקומפקטיות החלש נובע שיש מודל M שמקיים:
▲אם κ מונה קומפקטי חלש, אז השפה <math>\,\mathit{L}_{{\kappa},\kappa}</math> מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש. כמו כן, כאשר κ [[מונה אי נשיג]], והשפה <math>\,\mathit{L}_{{\kappa},\omega}</math> מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש, ניתן לראות כי κ מקיים את תכונת העץ, ולכן הוא מונה קומפקטי חלש.
# <math>V_\kappa</math> הוא תת-מודל אלמנטרי של M (ביחס לשפה <math>\,\mathit{L}_{{\kappa},\kappa}</math>).
# <math>\kappa \in M</math>
הבנייה של M נעשית כמו בהוכחה של [[משפט לוונהיים-סקולם]] העולה. כיוון שניתן לבטא ביסוס היטב (אי קיום סדרה יורדת אינסופית של סודרים) בשפה <math>\,\mathit{L}_{{\kappa},\kappa}</math>, נקבל כי M מבוסס היטב וניתן להניח כי הוא מודל טרנזיטיבי.
עובדה זו עומדת בבסיס תכונת
לכן נקבל:
▲עובדה זו עומדת בבסיס תכונת ההשתקפות של מונים קומפקטיים חלש.
: <math>M \models (\forall X \subset \kappa,\, V_\kappa \models \phi(X)) </math>
: <math>M \models (\exists \alpha \forall X \subset \alpha,\, V_\alpha \models \phi(X)) </math>
ומהשקילות האלמנטרית:
: <math>V_\kappa \models (\exists \alpha \forall X \subset \alpha,\, V_\alpha \models \phi(X)) </math>
אבל כיוון ש-κ אי נשיג, <math>V_\kappa</math> מכיל את כל קבוצת החזקה של α (לכל <math>\alpha < \kappa</math>) ולכן מתקיים:
: <math>\models \exists \alpha \in V_\kappa \forall X \subset \alpha,\, V_\alpha \models \phi(X) </math>
== ראו גם ==
* [[מונה קומפקטי חזק]]
== לקריאה נוספת ==
| |||