חבורת קוקסטר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q7874246 |
הגדרות פורמליות |
||
שורה 1:
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קוקסטר''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (סופית או אינסופית), בעלת [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על ה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] ב[[מרחב וקטורי]] (שלו מתאימה [[תבנית ריבועית]], המגדירה לעתים קרובות [[מרחב מכפלה פנימית]]), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: [[אלגברת לי|אלגברות לי]], [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]], [[קומבינטוריקה]] ו[[גאומטריה]].
== הגדרות פורמליות ==
'''מטריצת קוקסטר''' הינה מטריצה סמטרית עם ערכים [[מספר טבעי|טבעיים]] בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1 (כולל אינסוף).
'''חבורת קוקסטר''' <math>W</math> הינה חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math>, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד, כאשר <math>\ (m_{ij})</math> היא מטריצת קוקסטר, ואם <math>\ m_{ij}=\infty</math> אין יחס מהצורה <math>(s_is_j)^m=1</math>.
הזוג <math>(W,S)</math> נקרא '''מערכת קוקסטר'''.
כדאי לשים לב, שקבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.
=== מסקנות מיידיות מההגדרות ===
במערכת קוקסטר <math>(W,S)</math> עם יוצרים <math>S=\{s_1,\dots,s_n\}</math> ויחסים המוגדרים על ידי מטריצת קוקסטר <math>\ (m_{ij})</math>
* <math>\Leftarrow m_{ii}=1</math> כל היוצרים מסדר 2.
* <math>\Leftarrow m_{ij}=2</math> <math>r_i</math> ו-<math>r_j</math> מתחלפים, הרי <math>r_ir_j=r_i(r_ir_jr_ir_j)r_i = (r_ir_i)r_jr_i(r_jr_i) = r_jr_i</math>.
הגדרת מטריצת קוקסטר כסימטרית חיונית, שכן אם <math>(xy)^m=1</math> אז: <math>(yx)^m=(yx)^myy=y(xy)^my=yy=1</math>.
=== דיאגרמת קוקסטר ===
דיאגרמת קוקסטר הינה דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי [[גרף (תורת הגרפים)| גרף]] בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math>, מחוברים בקשת אם <math>m_{ij}\geq 3</math> והקשת מסומנת ב-<math>m_{ij}</math> כאשר <math>m_{ij}\geq 4</math>.
מתקבל מהגדרות אלה ש:
* שני יוצרים מתחלפים אם ורק אם הם לא מחוברים בקשת בגרף.
* אם יש בגרף יותר מרכיב קשירות אחד החבורה הינה מכפלה ישרה של חבורות המשוייכות לרכיבי הקשירות בגרף.
== הקשר לשיקופים ==
| |||