ממד קרול – הבדלי גרסאות

'''ממד קרול''' (סתמי) מוגדר עבור מודולים מעל חוג R. למודול האפס ממד 1-. ממד קרול <math>\ \operatorname{Kdim}(M)</math> שווה ל[[מספר סודר|סודר]] <math>\ \alpha</math> אם הוא אינו קטן מ-<math>\ \alpha</math>, ואם לכל שרשרת יורדת <math>\cdots < M_1 < M_0 = M</math>, ממקום מסוייםמסוים ואילך, <math>\ \operatorname{Kdim}(M_{i-1}/M_i) < \alpha</math>. בפרט, למודול (שאינו אפס) יש ממד 0 אם ורק אם הוא [[מודול ארטיני|ארטיני]]; למודול (שאינו ארטיני) יש ממד 1 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות ארטיניות החל ממקום כלשהו, למודול יש ממד 2 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות הן מממד 1 או 0 החל ממקום כלשהו.

כל חוג בעל ממד קרול מקיים את [[תנאי השרשרת העולה]] על אידיאליםאידאלים ראשוניים. בחוג שיש לו ממד קרול, כל אידיאלאידאל מכיל מכפלה של מספר סופי של ראשוניים (זוהי תכונה חשובה של חוגים נתריים). בחוג שיש לו ממד קרול מתקיים אי-השוויון <math>\ k\dim(R) \leq \operatorname{cl-K-dim}(R) \leq \operatorname{Kdim}(R)</math>. בחוג קומוטטיבי מתלכדים ממד קרול וממד קרול הקלאסי, ואם הממד סופי (והחוג קומוטטיבי) הם שווים גם לממד קרול הקטן.

* Arnold הראה שקיימים חוגים קומוטטיביים מממד קרול סופי, שחוג טורי החזקות מעליהם (במשתנה אחד) אינו מקיים את תנאי השרשרת העולה על ראשוניים. יתרה מזאת, הוא הראה שאם חוג טורי החזקות הוא בעל ממד קרול סופי אז חוג הבסיס מקיים את תנאי הסופיות SFT: לכל אידאל, יש תת -אידאל נוצר סופית כך שחזקות חסומות של אברי האידאל הרחב שייכות לאותו אידאל הנוצר סופית.