נגזרת (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נניח, אם כן, ש-A אלגברה קומוטטיבית מעל שדה K. מסמנים ב-<math>\operatorname{Der}_K(A)</math> את האלגברה של הנגזרות של A שכל אברי K הם סקלרים שלהן. זהו מודול מעל A, לפי הפעולה <math>(a \delta)(x) = a \delta(x)</math>. '''חוג האופרטורים הדיפרנציאליים''' הוא תת-החוג <math>\ \Delta(A)</math> של <math>\ \operatorname{End}_K(A)</math> הנוצר על- ידי A ועל- ידי הנגזרות <math>\operatorname{Der}_K(A)</math>; בתור מודולים מעל <math>\ \Delta(A)</math>, אפשר לפרק <math>\ \Delta(A) = A \oplus \Delta(A)\operatorname{Der}_K(A)</math>.

בניה זו מכלילה את הדוגמאהדוגמה החשובה של [[אלגברת וייל]], שהיא <math>\ A_n(K) = \operatorname{Der}_K(K[x_1,\dots,x_n])</math>.

כפי שגוזרים אלגברה קומוטטיבית A עם ערכים ב-A, אפשר לגזור את A עם ערכים בכל מודול M מעל A (נגזרת כזו היא פונקציה אדיטיבית <math>\ D : A \rightarrow M</math> המקיימת את האקסיומה <math>\ D(ab) = a D(b) + D(a)b</math>). גם אוסף הנגזרות האלה, <math>\ \operatorname{Der}_K(A,M)</math>, הוא מודול מעל A. '''מודול הדיפרנציאלים''' (האוניברסלי) הוא המודול <math>\ \Omega</math> הנוצר באופן חופשי על- ידי הסמלים <math>\ da</math> לכל <math>\ a\in A</math>, מודולו היחסים <math>\ d\alpha = d(a+b)-da-db = d(ab)-a(db)-b(da)=0</math> לכל <math>\ \alpha \in K</math> ולכל <math>\ a,b \in A</math>. הפונקציה <math>\ d : A \rightarrow \Omega</math> המוגדרת לפי <math>\ d(a) = da</math> היא אכן גזירה; וכל גזירה עם מקדמים במודול M מתפצלת דרכה באופן יחיד. למעשה, לכל מודול M יש איזומורפיזם