פרדוקס ד'אלמבר – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Drag sphere nasa.svg|שמאל|ממוזער|250px|ערכים אמפיריים עבור מקדם גרר כפונקציה של מספר ריינולדס. הקו המלא מייצג ספירה חלקה והקו השבור מייצג ספירה מחוספסת. המספרים לאורך הקווים מייצגים שינוי במשטר הזרימה והשינויים במקדם הגרר בהתאם: 2: זרימה צמודה (זרימת סטוקס) וזרימה מנותקת יציבה 3: זרימה מנותקת עם שכבת גבול למינרית במעלה ההיתנקות היוצרת שובל ערבולים סדורים 4: זרימה מנותקת עם שיכבת גבול במעלה ההיתנתקות והזרימה בשובל הינה [[זרימה_טורבולנטית]] 5: זרימה מנותקת על קריטית עם שכבת גבול טורבולנטית]]

 

{{ש}}

{{ש}}

{{ש}}

על פי הקונצנזוס המדעי, הפרדוקס נובע מההשפעות הזניחות של הצמיגות. בשילוב עם ניסויים מדעיים, היו התקדמויות עצומות בתאוריה של חיכוך של זורמים צמיגים במהלך המאה ה-19. ובעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. אפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד ,שכבות הגבול הדקות יישארו כתוצאה מכוחות צמיגות. כוחות הצמיגות האלו גורמות לגרר על גופים.

== זרימה לא צמיגה ומופרדת : קירכהוף וריילי ==

[[קובץ:Cavity flow plate.svg|שמאל|ממוזער|250px|זרימה פוטנציאלית, פרידה, בלתי דחיסה מסביב למשטח בדו מימד{{הערה|Batchelor (2000), p. 499, eq. (6.13.12).}} עם לחץ קבוע בשני קווי זרם המופרדים על גבי הגוף]]

במחצית השנייה של המאה ה -19 , המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתיאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף*** וריילי*** היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ*** ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, ולחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות ידי מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק.*** על מנת לקבל שאין אפס גרור על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. תנאי זה אכן מתקיים בזרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה את כוח הגרר להיות פרופורציונאלי לריבוע של המהירות .*** בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-סיויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות.***

{{ש}}

 

== שכבות גבול דקות : פרנטל ==

הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי***. פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לוריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה הדקה שבקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של ערבוליות ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול . פיזור האנרגיה , אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים. הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל לחץ הגזירה הצמיגי בקיר.***

{{ש}}

 

=== זרימה פוטנציאלית ===

שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית. נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, אשר לזרימה בלתי דחיסה נראים כדלהלן:<math>\begin{align} & \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{u} = 0 && \text{(Conservation of mass)} \\ & \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{u} + \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = - \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p && \text{(Conservation of momentum)} \end{align}</math>

 

ולכן אין גרר. זהו פרדוקס ד'אלמבר.

 

{{הערות שוליים|יישור=ימין}}