משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q1477053 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה פונקציונלית]], '''משפט ארצלה-אסקולי''' (נקרא גם '''משפט אסקולי''' בספרות)
==תיאור פורמלי==
אם <math>K</math> הוא [[מרחב מטרי]] [[קומפקטיות|קומפקטי]] כלשהו, מסמנים ב-<math>C(K)</math> את [[מרחב וקטורי|מרחב]] ה[[פונקציה רציפה|פונקציות הרציפות]] מהצורה <math>f:K \to \mathbb{R} </math> ביחס לפעולות סכום וכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו גם [[מרחב נורמי]] [[מרחב שלם|שלם]] ([[מרחב הילברט]]) תחת "נורמת אינסוף": <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| </math>.
באופן טבעי, אם A תת-קבוצה של <math>C(K)</math> אומרים כי A "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.
:'''משפט ארזלה אסקולי:''' תהי <math>A \subseteq C(K)</math> קבוצה חסומה. אזי לכל [[סדרה]] ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת אם ורק אם איברי A [[רציפות במידה אחידה|רציפים במידה אחידה]].
:'''מסקנה:''' אם <math>A \subseteq C(K)</math> חסומה וגם סגורה, אז A [[קומפקטיות|קומפקטית]] אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.
:'''הוכחה:''' ממשפט ארזלה אסקולי נובע כי אם A חסומה ואיבריה רציפים במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזהו אחד האיפיונים השקולים לתכונת הקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
:'''מסקנה:''' אופרטור האינטגרל <math>\ T:C(K) \rightarrow C(K) </math> המוגדר <math>\ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,dt </math>, כאשר <math>\ k </math> [[גרעין]] רציף על <math>\ K \times K</math>, הוא [[אופרטור קומפקטי]].
== הוכחת המשפט ==
| |||