פונון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Akokustatal (שיחה | תרומות) הוספת פרק פיתוח מתמטי (ללא המשוואות) |
Akokustatal (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 16:
תיאור פשוט של '''פונונים''' ויחס הנפיצה שלהם ניתן לתיאור על ידי קירוב האינטרקציות הבין אטומיות למתנדים הרמוניים, בדומה לתגובת קפיץ למתיחה או דחיסה.
נניח שרשרת אטומים המחוברים בינהם בקפיצים בעלי קבוע קפיץ
משוואת הכוחות עבור החלקיק ה-<math>\ n </math> נתונה על ידי
<math>\ m \frac{d^2U_n}{dt^2} = -K \left[ ( U_n-U_{n-1} ) + ( U_n-U_{n+1}) \right] </math>
פתרון משוואה זו, בדומה למתנד הרמוני, היא גל מתקדם:
<math>\ U_n=U_0 e^{i \vec{k} \vec{a}n -i \omega t} </math>
הצבה של הפתרון במשוואת הכוחות וצמצום שני האגפים משאיר אותנו עם יחס הנפיצה:▼
כאשר <math>\vec{k}</math> הוא [[וקטור גל|וקטור הגל]], <math>\vec{a}</math> הוא וקטור הסריג ו- <math>\omega</math> היא תדירות הגל.
▲הצבה של הפתרון במשוואת הכוחות וצמצום שני האגפים משאיר אותנו עם יחס הנפיצה <math>\ \omega(k) </math> :
<math>\omega^2 = \frac{K}{m} \left[ 2 - e^{i\vec{k} \vec{a}} - e^{-i\vec{k} \vec{a}} \right] = 2 \frac{K}{m} \left[ 1 - cos(ka) \right] </math>
שימוש בזהות טריגונומטרית נותן לנו ביטוי מפורש יותר של יחס הנפיצה:
<math>\ \omega = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} \left| sin \left(\frac{ka}{2} \right) \right| </math>
אשר עבור וקטורי הגל הנמוכים (אורכי גל ארוכים), נותן יחס ליניארי בקירוב▼
▲אשר עבור וקטורי הגל הנמוכים (אורכי גל ארוכים), נותן יחס ליניארי בקירוב.
פונונים אלה נקראים פונונים אקוסטיים (בניגוד לפונונים אופטיים), והם כאמור אחראים על נשיאת גלי הקול בחומר המוצק.
את מהירות גלי הקול נוכל למצוא מתוך ההגדרה ל[[מהירות חבורה|מהירות החבורה]]:
<math> v_g\equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}</math>
שהיא מהירות התקדמות גלי הקול בתווך המוצק
<math> C_s = v_g = \sqrt{\frac{K}{m}} a </math>
== ראו גם, ==
* [[פוטון]]
| |||