|
== מושגי היסוד ==
'''קדם-גאומטריה''' היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] אברים שלכל אחד מהם '''טיפוס''' מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם '''יחס חילה''' שהוא [[יחס רפלקסיבי]] ו[[יחס סימטרי|סימטרי]] המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה. קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת '''דגל'''; לדוגמאלדוגמה, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה. דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא '''חדר''' (chamber). מספר הטיפוסים הוא ה'''דרגה''' של הקדם-גאומטריה. קדם-גאומטריה היא '''גאומטריה''' אם אפשר להשלים כל דגל לחדר. '''גאומטריה קבוצתית''' היא גאומטריה עם הטיפוסים <math>0, 1,\dots,d-1</math> (אברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה אברים A,a חלים זה בזה אם הטיפוס של a קטן משל A וכל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A. בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה ב[[הכלה (תורת הקבוצות)|הכלה]] בין הקבוצות.
== גאומטריה אפינית ופרוייקטיביתופרויקטיבית ==
=== מישורים ===
המישור האפיני וה[[מישור פרויקטיבי|מישור הפרוייקטיביהפרויקטיבי]] הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה. הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא. במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה '''נמצאת על''' הישר, והישר '''עובר דרך''' הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת '''מרחב לינארי''' אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב לינארי היא '''תת-מרחב''' אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא '''תת-המרחב הנוצר''' על- ידי S. תת-המרחב הנוצר על- ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא '''מישור'''. מרחב לינארי נקרא '''מישור פרוייקטיביפרויקטיבי''' אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, וכל שני ישרים נפגשים בנקודה. כל מישור פרוייקטיביפרויקטיבי הוא מישור. מרחב לינארי המקיים את [[אקסיומת המקבילים]] (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא '''מישור אפיני'''. אם יש במישור האפיני A ישר בן שלוש נקודות, אז הוא מישור. המישור האפיני היחיד שאינו מישור הוא בן 4 נקודות.
סילוק ישר אחד ממישור פרוייקטיביפרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהיפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרוייקטיביפרויקטיבי על- ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.
=== מרחבים פרוייקטיבייםפרויקטיביים ===
מושגים אלו ניתנים להכללה ל[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] גבוה. '''[[מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי]]''' מוגדר כמרחב לינארי המקיים את '''אקסיומת ובלן-יאנג''': אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על- ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על- ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. מרחב לינארי הוא מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי [[אם ורק אם]] כל מישור שלו הוא מישור פרוייקטיביפרויקטיבי.
בדומה להגדרות ב[[אלגברה לינארית]], המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר '''בסיס''' של מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי P כקבוצה S שהיא '''פורשׂת''' (כלומר S יוצרת את P) ו'''בלתי תלויה''' (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את [[הלמה של צורן]]). הבסיסים של מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי P מקיימים את [[למת ההחלפה של שטייניץ]], וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, ה[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים <math>\operatorname{dim}(\langle U,U'\rangle) = \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(U')-\operatorname{dim}(U\cap U')</math>.
בגאומטריה הפרוייקטיביתהפרויקטיבית (מממד d) שהוגדרה לעיל יש רק שני טיפוסים: נקודה וישר. מושג הממד מאפשר לספח לה אובייקטים נוספים, מממדים שונים: אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב להיות הממד שלו, אז אוסף כל תת-המרחבים של P מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה d.
לכל [[חוג עם חילוק]] D ולכל מרחב וקטורי שמאלי V מעל D, אפשר לבנות את המרחב הפרוייקטיביהפרויקטיבי <math>\ \mathbb{P}V</math> באמצעות [[מרחב פרויקטיבי#בניה בקואורדינטות הומוגניות|קואורדינטות הומוגניות]], כאשר הנקודות הן המרחבים החד-ממדיים <math>\ Dv</math> והישרים הם המרחבים הדו-ממדיים <math>\ Dv+Dv'</math>. באופן כללי יותר, תת-מרחבים מממד i במובן של גאומטריה פרויקטיבית מתאימים לתת-מרחבים של V מממד i+1 במובן של אלגברה לינארית. כל מרחב פרויקטיבי שנבנה באופן כזה מקיים את [[משפט דזרג]].
=== מרחבים אפיניים ===
'''יחס הקבלה''' הוא [[יחס שקילות]] על הישרים של מרחב לינארי, כך שלכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב לינארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא '''סגור להקבלה''' אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא '''תת-מרחב אפיני''' אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על- ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
'''מרחב אפיני''' הוא מרחב לינארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על- ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת הוא יוצר את המרחב כולו) נקרא '''[[על-מישור]]'''. אם מסירים ממרחב פרוייקטיביפרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי [[איזומורפיזם]]). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרוייקטיבייםפרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני L ממד. בדומה למקרה הפרוייקטיביהפרויקטיבי, אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב אפיני להיות הממד שלו, אוסף כל תת-המרחבים של L מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה השווה לממד של L.
כמו במקרה הפרוייקטיביהפרויקטיבי, מרחב לינארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
=== מורפיזמים ===
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב לינארי לקבוצת הנקודות של מרחב לינארי נקראת '''קולינאציה''' אם היא משרה העתקה (חד-חד-ערכית ועל) בין קבוצות הישרים. קולינאציה מעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים. מרחבים פרוייקטיבייםפרויקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם '''איזומורפיים'''. קולינאציה בין מרחבים פרוייקטיבייםפרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על- ידי הסרת על-מישור, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרוייקטיבייםהפרויקטיביים שהם מגדירים.
אם p נקודת שבת של קולינאציה a, אז a מהווה קולינאציה של הגאומטריה השאריתית ב-p. קולינאציה a ממרחב פרוייקטיביפרויקטיבי לעצמו היא '''מרכזית''' אם יש לה '''נקודת מרכז''' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a; במקרה זה הקולינאציה של הגאומטריה השאריתית היא טריוויאלית). תכונה זו שקולה לקיומו של '''ציר''' (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות <math>\ G(p,H)</math> עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. קולינאציה ב-<math>\ G(p,H)</math> נקבעת על- ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-<math>\ H \cup \{p\}</math>; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל-<math>\ H \cup \{p\}</math> של כל ישר דרך p.
(ראה [[מישור פרוייקטיביפרויקטיבי]] לדיון בקולינאציות של המישור הפרוייקטיביהפרויקטיבי הקלאסי).
== גאומטריה פולרית ==
גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא '''מרחב פולרי''' אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו '''מרחב פולרי מוכלל'''). מרחב פולרי הוא '''מנוון''' אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות. קבוצת נקודות במרחב פולרי היא '''תת-מרחב''' אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה. כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה). ה'''דרגה''' של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים. כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב לינארי חלקי<!--משפט 2.9 ב-Uberberg-->. מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא '''מלבן מוכלל''' (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים לינארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים)<!--משפט 2.20 ב-Uberberg-->. נניח ש-S מרחב פולרי מדרגה סופית. לכל תת-מרחב יש תת-מרחב מקסימלי זר לו. כל תת-מרחב מהווה חיתוך של שני תת-מרחבים מקסימליים.
תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא '''על-מישור פרוייקטיביפרויקטיבי''', אם הוא חותך כל ישר של S. נסמן ב-<math>\ p^{\perp}</math> את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p. לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך <math>\ U_p = U \cap p^{\perp}</math> הוא על-מישור פרוייקטיביפרויקטיבי של U. אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב <math>\ \langle U_p,p\rangle</math> הוא מקסימלי<!--, והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-<math>\ U_p</math>-->. כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרוייקטיביפרויקטיבי ('''משפט Buekenhout''', המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult). משפט זה מכניס את מושג הממד של מרחבים פרוייקטיביםפרויקטיבים לתאוריה של מרחבים פולריים.
'''משפט Buekenhout-Shult''' מתאר את מבנה תת-המרחבים של מרחב פולרי S מדרגה סופית n, כדלקמן: (1) כל תת-מרחב מקסימלי המכיל לפחות שני ישרים הוא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
== גאומטריה שאריתית ==
נניח ש-F הוא דגל בגאומטריה, וחסרים בו אובייקטים מקבוצת הטיפוסים J (כלומר, יש ב-F אובייקט מכל טיפוס שאינו ב-J). '''הגאומטריה השאריתית''' של F כוללת את האובייקטים שהוספתם ל-F יוצרת דגל. לדוגמאלדוגמה, בגאומטריה שיש בה נקודות, ישרים, מישורים ומרחבים, אם F כולל ישר t ומרחב w (המכיל את t), אז הגאומטריה השאריתית שלו כוללת את כל הנקודות המוכלות ב-t והמישורים המכילים את t ומוכלים ב-w. לדוגמאלדוגמה, בגאומטריה פרוייקטיביתפרויקטיבית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא פרוייקטיביתפרויקטיבית d-1-ממדית, וכזו היא גם הגאומטריה השאריתית של כל תת-מרחב מממד d-1. לעומת זאת, בגאומטריה אפינית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא (שוב) פרוייקטיביתפרויקטיבית d-1-ממדית, והגאומטריה השאריתית של תת-מרחב מממד d-1 היא אפינית מממד זה.
חשיבות מיוחדת יש לגאומטריה השאריתית של דגל שחסרים בו רק שני טיפוסים, וזאת משום שאם יש בגאומטריה אובייקטים משלושה טיפוסים או יותר, אפשר לתאר אותה, ולו באופן חלקי, באמצעות המבנה ההדדי של האובייקטים מכל שני טיפוסים בנפרד. נאמר שלטיפוסים i,j יש גאומטריה מסויימתמסוימת X (בת שני טיפוסים), אם *כל* גאומטריה שאריתית של דגל שחסרים בו בדיוק שני הטיפוסים האלה עונה לקריטריונים המגדירים את X (יתכןייתכן כמובן שהגאומטריה השאריתית של חלק מהדגלים מקיימת אקסיומות מסויימותמסוימות, ואילו הגאומטריה השאריתית של דגלים עם אותם טיפוסים אינה מקיימת אותן). כאן יש שלוש דוגמאות חשובות: המישור הפרוייקטיביהפרויקטיבי, המישור האפיני, ו"הגאומטריה המלאה" שבה כל אובייקט מטיפוס i חל בכל אובייקט מטיפוס j. למשל, בדוגמאבדוגמה שנתנו קודם לכן הגאומטריה השאריתית של F היתההייתה מלאה, משום שכל מישור המכיל את הישר t מכיל גם כל נקודה השייכת ל-t.
=== הדיאגרמה של גאומטריה ===
כעת בונים לגאומטריה מרובת טיפוסים את ה'''דיאגרמה''' שלה, שהיא גרף שקודקודיו הם הטיפוסים השונים. בדיאגרמה, *אין* מחברים שני טיפוסים i,j בקו, רק כאשר יש להם הגאומטריה המלאה. '''גאומטריה קווית''' היא גאומטריה שהדיאגרמה המתאימה לה היא מסלול (כלומר, יש לה טיפוסים 0,1,...,d, ולכל שני טיפוסים שאינם סמוכים יש הגאומטריה המלאה). נניח שבגאומטריה יש הטיפוס "נקודה"; אומרים שהיא '''מופרדת על- ידי נקודות''' אם לכל שני אובייקטים, יש באחד מהם נקודה שאין בשני, וכאשר האובייקטים אינם חלים זה בזה, יש גם נקודה בשני שאינה בראשון. כל גאומטריה קבוצתית היא קווית, וכל גאומטריה קווית המופרדת על- ידי נקודות היא קבוצתית.
למשל, גאומטריה פרוייקטיביתפרויקטיבית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרוייקטיביהפרויקטיבי. גאומטריה אפינית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרוייקטיביהפרויקטיבי, פרט לטיפוסים 0,1 שלהם יש הגאומטריה של המישור האפיני. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה פרוייקטיביתפרויקטיבית d-ממדית, אז היא כזו. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות ארבע נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה אפינית d-ממדית, אז היא כזו. (גאומטריה היא '''קשירה''' אם כל אובייקט מחובר לכל אובייקט אחר בשרשרת של אובייקטים שבה כל שני אברים סמוכים חלים זה בזה; ו'''קשירה-שאריתית''' אם כל גאומטריה שאריתית של דגל החסר לפחות שני טיפוסים, היא קשירה).
== מקורות ==
|
