שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←דוגמאות =: מחקתי את "=" בכותרת |
←הגדרה: ←תכונות בסיסיות: ניסוח של הגדרה מפורט ותכונות בסיסיות |
||
שורה 6:
== הגדרה ==
שדה הוא
*חיבור
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a + b) \in \mathbb{F}</math>
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a +b) + c = a + (b +c)</math>
# קיום ניטרלי לחיבור: קיים איבר <math>0_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a + 0_F = a</math>
# קיום איבר נגדי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> קיים איבר <math>-a</math> כך ש- <math>a + (-a) = 0_F</math>
*כפל
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a \cdot b) \in \mathbb{F}</math>
# קומוטטיביות (חילוץ): לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a \cdot b) = (b \cdot a)</math>
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>
# קיום ניטרלי לכפל: קיים איבר <math>1_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot 1_F = a</math>
# קיום איבר הפכי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}\setminus\{0_F\}</math> קיים איבר <math>a^{-1}</math> כך ש- <math>a \cdot a^{-1} = 1_F</math>
*בנוסף
#דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot (b +c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>
#<math>1_F \neq 0_F</math>
== תכונות בסיסיות ==
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות:
*לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot 0_F =0_F</math>
*קיים ניטרלי לכפל יחיד
*קיים ניטרלי לחיבור יחיד
*אין מחלקי <math>0_F</math>
*לכל <math>a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(-a) \cdot b = -(a \cdot b)</math>
*יחידות הנגדי וההפכי
== דוגמאות==
| |||