הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"

←‏הגדרה: ←‏תכונות בסיסיות: ניסוח של הגדרה מפורט ותכונות בסיסיות
מ (←‏דוגמאות =: מחקתי את "=" בכותרת)
(←‏הגדרה: ←‏תכונות בסיסיות: ניסוח של הגדרה מפורט ותכונות בסיסיות)
 
== הגדרה ==
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math> \ F </math> עםומקיים שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]],כפל להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל"וחיבור (המסומנות בדרך כלל: ב- <math>+</math> ו-"'''<math>\cdot</math>)'''" ושני, קבועים (שונים"'''+'''") - 0 ו- 1, המקיימותכך אתשמתקיימות התכונות הבאות:
*חיבור
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a + b) \in \mathbb{F}</math>
* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
*# מתקיים [[חוק הפילוג]]קומוטטיביות (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבורחילוץ): לכל <math>\ a, b, c</math>\in ב- <math>\ mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a\cdot( +b+c) = (a\cdotb b)+(a\cdot c)</math>.
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a +b) + c = a + (b +c)</math>
# קיום ניטרלי לחיבור: קיים איבר <math>0_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a + 0_F = a</math>
# קיום איבר נגדי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> קיים איבר <math>-a</math> כך ש- <math>a + (-a) = 0_F</math>
*כפל
# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a \cdot b) \in \mathbb{F}</math>
# קומוטטיביות (חילוץ): לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a \cdot b) = (b \cdot a)</math>
# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>
# קיום ניטרלי לכפל: קיים איבר <math>1_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot 1_F = a</math>
# קיום איבר הפכי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}\setminus\{0_F\}</math> קיים איבר <math>a^{-1}</math> כך ש- <math>a \cdot a^{-1} = 1_F</math>
*בנוסף
#דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot (b +c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>
#<math>1_F \neq 0_F</math>
 
== תכונות בסיסיות ==
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות:
*לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a \cdot 0_F =0_F</math>
*קיים ניטרלי לכפל יחיד
*קיים ניטרלי לחיבור יחיד
*אין מחלקי <math>0_F</math>
*לכל <math>a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(-a) \cdot b = -(a \cdot b)</math>
*יחידות הנגדי וההפכי
 
== דוגמאות==
28

עריכות