טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: על ידי, {{הערות שוליים}} |
←חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן: שיהיה משהו ראשוני |
||
שורה 16:
=== חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן ===
הטור <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> מתכנס לכל s [[מספר מרוכב|מרוכב]] שהחלק הממשי שלו גדול מ-1. הטור מגדיר [[פונקציה אנליטית]] <math>\zeta(s)</math> שיש לה [[המשכה אנליטית]] לכל [[המישור המרוכב]] עם [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב-1. באופן הזה <math>\zeta(s)</math> מוגדרת גם בנקודות בהן הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> אינו מתכנס. פונקציה זו קרויה [[פונקציית זטא של רימן]].
לכל n טבעי מתקיים:
:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>
כאשר <math>B_{k}</math> הוא [[מספר ברנולי]] ה-k.
אם נציב n=1 נקבל:
:<math>\zeta(-1)=-\frac{B_{2}}{2}=-\frac{1}{12}</math>
על כן, אם נזהה פורמלית את הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> עם פונקציית זטא של רימן, גם בנקודות בהן הטור אינו מתכנס, נקבל:
:<math>1+2+3+\ldots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\zeta(-1)=-\frac{1}{12}</math>
=== חישוב בעזרת סיכום רמנוג'אן ===
| |||