אידיאל נילי – הבדלי גרסאות

אידאל הוא '''נילפוטנטי מקומית''', אם תת-החוג הנוצר על ידי מספר יוצרים סופי מאברי האידאל הוא תמיד נילפוטנטי (אם כי דרגת הנילפוטנטיות עשויה להיות תלויה בבחירת היוצרים). כל אידאל נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית, וכל אידאל נילפוטנטי מקומית הוא נילי; הטענות ההפוכות אינן נכונות בדרך כלל. עם זאת, ב[[חוג נותרי|חוגים נותריים]], כל אידאל שמאלי נילי הוא [[אידאל נילפוטנטי]]<ref>{{הערה|1=Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23.</ref>}}. [[חוג ראשוני]] שאין בו אידאלים ניליים נקרא '''strongly prime'''.

בדומה לזה, [[רדיקל לויצקי]] הוא האידאל השמאלי הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר, והוא אידאל דו-צדדי. קיומם של רדיקלים אלה מוכיח שסכום (כלשהו) של אידאלים ניליים הוא תמיד נילי, והסכום של אידאלים נילפוטנטיים-מקומית הוא תמיד נילפוטנטי-מקומית. אפילו הסכום של אידאלים שמאליים נילפוטנטיים-מקומית הוא נילפוטנטי-מקומית, והסכום של תת-חוג נילפוטנטי מקומית עם תת-חוג נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית<ref>{{הערה|1=Ferrero and Puczylowski, On rings which are sums of two subrings, Arch. Math. 53, 4--10, (1989).</ref>}}. לעומת זאת, לא ידוע האם סכום של אידאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי (ראו להלן).

[[השערת קתה]], שהיא אחת ההשערות הפתוחות המרכזיות בתורת החוגים, שואלת האם סכום של אידאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי<ref>{{הערה|1=בין הגרסאות השקולות: האם סכום של תת-חוג נילפוטנטי ותת-חוג נילי, הוא נילי. ידוע שיש סכומים של שני תת-חוגים נילפוטנטיים מקומית שאינם ניליים.</ref>}}.