ויקיפדיה

חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Addbot (שיחה | תרומות)
81,380 עריכות
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q867345
OfekBot (שיחה | תרומות)
32,748 עריכות
מ בוט: החלפת תגית ref בתבנית הערה
שורה 38:
את [[חוג שלמים|חוגי השלמים]] של שדות מספרים אפשר לסדר לפי הדרגה של [[חבורת יחידות של חוג|חבורת היחידות]] שלהם, שהיא סופית על-פי [[משפט היחידות של דיריכלה]]. חבורת יחידות סופית, בעלת דרגה 0, יש רק לחוגי השלמים של השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>, כאשר D מספר שלם שלילי. במקרה זה ידוע שיש תשעה חוגי שלמים [[תחום ראשי|ראשיים]]: <math>\ D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163</math>, שמהם רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים (הראשון ברשימה הוא [[חוג השלמים של גאוס]]), וכל אלה אוקלידיים על-פי הנורמה[http://planetmath.org/encyclopedia/QuadraticImaginaryEuclideanNumberFields.html].
 
על-פי ההשערה, בכל מקרה אחר (כלומר, כאשר חבורת היחידות מדרגה חיובית), החוג אוקלידי כל אימת שהוא ראשי. השערה זו נובעת מ[[השערת רימן המוכללת]]<ref>{{הערה|1={{כ}}P.J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic Number Theory, pp. 321-332, Amer. Math. Soc, 1973.</ref>}}, והיא נכונה גם ללא הנחה חזקה זו כאשר דרגת החבורה 4 לפחות<ref>{{הערה|1={{כ}}M. Harper and M. Ram Murty, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canad. J. Math. 56(1), 71-76, (2004).</ref>}}.
 
== קריטריונים לאוקלידיות ==
 
את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin<ref>{{הערה|1={{כ}}T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).</ref>}} בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג R קבוצות <math>\ R_n</math>, כאשר <math>\ R_0=\{0\}</math>, ואילו <math>\ R_n</math> היא קבוצת כל האיברים a, שעבורם לכל מחלקה ב[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/Ra</math> יש נציג מן הקבוצה <math>\ R_{n-1}</math>. בפרט, <math>\ R_1-\{0\}</math> היא קבוצת האברים ההפיכים של החוג. לפי Motzkin, חוג הוא אוקלידי אם ורק אם כל איבר שלו שייך לאחת הקבוצות בסדרה זו.
 
בדיקת האוקלידיות כאשר d פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות R הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית d אם ורק אם [[שדה שברים|שדה השברים]] F של R מכוסה כולו על ידי ה"כדורים" <math>\ B(a)=\{x\in F| d(x-a)<1\}</math> שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" <math>\ a\in R</math>. מקריטריון זה נובע שאם R אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג <math>\ R \subseteq R' \subseteq F</math> גם הוא אוקלידי.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חוג_אוקלידי"