מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

[[Image:EnvelopeAnim.gif||left|thumbממוזער|500px|בנייה של המעטפת של משפחה של עקומים.]]

ב[[גיאומטריהגאומטריה]], '''מעטפת''' (ב[[אנגלית]]: Envelope) של [[משפחת עקומים|משפחה]] של [[עקומה|עקומים]] במישור היא העקום אשר [[משיק]] לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה למימדיםלממדים גבוהים יותר.

לשם דוגמאדוגמה, יהי ''C''_''t'' הקו הישר אשר משוואתו היא מהצורה:

<math>\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1</math>. אם ננקה את השברים נקבל: :<math>x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0.\,</math>. כלומר עבור כל נקודה (x,y) יש לכל היותר שתי ערכים של t עבורם הישר המתאים עובר דרך הנקודה (x,y), ואינטואיציה גאומטרית עוזרת להבין זאת, כי קיים בודאותבוודאות ישר אחד שעובר דרך הנקודה (הישרים מכסים יחדיו את כל האזור התחום על ידי המעטפת) ולאחר מכן ניתן "לנוע" לאורך הישר הנתון באמצעות נקודות החיתוך עם ישרים סמוכים עד שמגיעים לנקודה הנ"ל. אולם, נקודות (x,y) הנמצאות על המעטפת מוגדרות כ[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של נקודות חיתוך של עקומים "סמוכים" ולפיכך לכל נקודה על הגבול יש בדיוק ישר אחד שעובר דרכה. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית לעיל יש פתרון יחיד t, ולפיכך המעטפת היא אוסף כל הנקודות (x,y) עבורם ל[[משוואה ריבועית|משוואה הריבועית]]:<1)+xmath>t^2+(-x+y-</math> יש פתרון יחיד. לפיכך משוואת המעטפת היא ה[[דיסקרימיננטה]] של המשוואה הריבועית שווה לאפס::<math>(-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0.\,</math>.

[[קובץ:Astroid as envelope.png|left|thumbממוזער|]]

מעטפות גאומטריות רשורות למחקר של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואות דיפרנציאליות רגילות]], ובאופן מיוחד בהקשר של [[פתרון סינגולרי|פתרונות סינגולריים]] למד"ר. ניקח, כדוגמאכדוגמה, את המשפחה בת פרמטר אחד של קווים משיקים לפרבולה ''y'' = ''x''². אלה מתקבלים באמצעות המשפחה היוצרת ''F''(''t'',(''x'',''y'')) = ''t''² – 2''tx'' + ''y''. הצבת רמת האפס ''F''(''t''₀,(''x'',''y'')) = 0 נותנת את המשוואה של המשיק לפרבולה בנקודה (''t''₀,''t''₀²). המשוואה ''t''² – 2''tx'' + ''y'' = 0 ניתנת תמיד לפתרון בצורה של y כפונקציה של x ולכן: