משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)</math> כאשר <math>r(x)\not\equiv 0</math>. בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם <math>\ y_1(x)</math> ו-<math>\ y_2(x)</math> הם פתרונות של המשוואה אז <math>\ ay_1(x)+by_2(x)</math> הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים <math>\ a+b=1</math> ). פתרון כללי של משוואה לינארית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה <math>r(x)\equiv 0</math>) ע"י כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.

 

באופן כללי, משוואה מסדר <math>\ n</math> מתוארת על ידי הפונקציה <math>F\left (x,y,y',\cdots ,y^{(n)} \right )=0</math>.

ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר <math>\ n</math> ניתנת להצגה כמערכת של <math>\ n</math> משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

 

[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] הומוגנית מסדר <math>\ n</math> היא משוואה מהצורה <math>\ y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)</math>. כאשר <math>\ b(x)\equiv 0</math> המשוואה היא הומוגנית וכאשר <math>\ b(x)\not\equiv 0</math> המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).