|
==שימושים==
למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים ב[[אלגברה]], בפרט ב[[תורת גלואה]]. לדוגמה, אם <math>\ f(x)</math> הוא [[פולינום]] אי-פריק ממעלה <math>\ p</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, אז שדה ה[[הרחבה של שדות|הרחבה]] <math>\ F[x]/(f(x))</math> הוא ממימד <math>\ p</math>, ולכן גם הממד של [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] K של <math>\ f</math>, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב- <math>\ p</math>. אבל לפי [[המשפט היסודי של [[תורת גלואה]], הסדר של [[חבורת גלואה]] שווה לממד של K מעל F, ולכן - לפי משפט קושי - היא כוללת איבר מסדר <math>\ p</math>. ▼
▲למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים ב[[אלגברה]], בפרט ב[[תורת גלואה]]. לדוגמה, אם <math>\ f(x)</math> הוא [[פולינום]] אי-פריק ממעלה <math>\ p</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, אז שדה ה[[הרחבה של שדות|הרחבה]] <math>\ F[x]/(f(x))</math> הוא ממימד <math>\ p</math>, ולכן גם הממד של [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] K של <math>\ f</math>, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב- <math>\ p</math>. אבל לפי המשפט היסודי של [[תורת גלואה]], הסדר של [[חבורת גלואה]] שווה לממד של K מעל F, ולכן - לפי משפט קושי - היא כוללת איבר מסדר <math>\ p</math>.
<!-- זו הוכחה שאין *סדרים* נוספים של תת-חבורות, לא שאין תת-חבורות נוספות מסדרים 3 או 5.
למעשה ממשפטי סילו יוצא בקלות שחבורה מסדר 15 היא ציקלית (מספר תת-החבורות מסדר 5 שקול ל-1 מודולו 5, וגם מחלק את 15, לכן חבורת סילו נורמלית; אבל אז ההצמדה באיבר מסדר 3 מוכרחה להיות טריוויאלית כי בחבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר 5 אין איברים מסדר 3.
נראה דוגמה נוספת לשימוש במשפט: תהי <math>\ G</math> חבורה מסדר <math>\ 15</math>, מטרתנו למצוא מה הוא סדר תתי החבורות של <math>\ G</math>. המספרים <math>\ 3</math> ו-<math>\ 5</math> הם מספרים ראשוניים שמחלקים את סדר החבורה, לכן לפי משפט קושי קיימים איברים <math>\ x</math> ו-<math>\ y</math> מסדרים <math>\ 3</math> ו-<math>\ 5</math> בהתאמה. לפי הגדרת סדר איבר <math>\ <x>|=3</math>| ו-<math>\ |<y>|=5</math> (סדר ת"ח הנוצרות על ידי <math>\ x</math> ו-<math>\ y</math>) וקיבלנו תתי חבורות מסדרים <math>\ 3</math> ו-<math>\ 5</math>. בנוסף קיימות הת"ח הטריוויאליות <math>\ G</math> ו- {<math>\ e</math>} מסדרים <math>\ 15</math> ו-<math>\ 1</math>. המספרים <math>\ 1</math>
<math>\ 3</math> <math>\ 5</math> ו- <math>\ 15</math> הם המספרים היחידים שמחלקים את <math>\ 15</math> ולכן לפי [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] אין עוד תת-חבורות אפשריות.
-->
==הוכחה==
תהי G חבורה מסדר המתחלק בראשוני p. צריך להוכיח שיש ב- G איבר מסדר p.
ראשית צריך להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] על הסדר: אם <math>\ 1e\neq x</math> הוא איבר מסדר המתחלק ב-p, אז יש לו חזקה מסדר p. אחרת, אפשר לעבור ל[[חבורת מנה]] ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על ידי x.
כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם <math>\ |G|=p</math> אז כל איבר לא-[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] הוא מסדר p (לפי [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-<math>\ |G|</math>.
*'''מקרה א.''' - קיים איבר <math>\ x\in G</math>, <math>\ x\not\in Z(G)</math> עבורו <math>\ p||Z_x|</math> (לא להתבלבל: <math>\ Z_x</math> הוא '''הַמְּרַכֵּז''' של <math>\ x</math> המוגדר: <math>\ Z_x:=\{g\in G | gx=xg\}</math> ואילו <math>\ Z(G)</math> הוא [[מרכז של חבורה|מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה]] <math>\ Z(G) : = \{ z\in G | zg = gz \forall g\in G\} </math>). <math>\ Z_x\ne G</math> כי <math>\ x\not\in Z(G)</math> ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-<math>\ Z_x</math> לכן <math>\ |Z_x|<|G|</math>, הנחנו <math>\ p||Z_x|</math>, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר <math>\ p</math> ב-<math>\ Z_x</math>, אבל זו תת-חבורה של G.
*'''מקרה ב.''' - לכל איבר <math>\ x\in G</math> <math>\ x\not\in Z(G) </math>, <math>\ p</math> לא מחלק את <math>\ |Z_x|</math>. לפי משפט לגראנז' <math>\ |G|=|Z_x|*\cdot [G:Z_x]</math> ומשני הנתונים נובע ש-<math>\ p|[G:Z_x]</math>. ידוע ש-<math>\ [G:Z_x]=|conj(x)|</math> (<math>\ conj(X)</math> היא מחלקת הצמידות של x ב- G). לפי [[שוויוןמשוואת המחלקות]] <math>\ |G|=|Z(G)|+ \sum_{i=1}^k |conj([G:Z_{x_i)|}]</math> כש-<math>\ x_1,...,x_k</math> נציגי [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] שסדרן גדול מ-<math>\ 1</math>, כמובן, <math>\ x_1,...,x_k</math> אינם איברים ב-<math>\ Z(G)</math> כי סדרגודל מחלקת הצמידות של איבר במרכז הוא <math>\ 1</math>. הנחנו <math>\ p||G|</math>, הראנו <math>\ p|\sum_{i=1}^k|conj([G:Z_{x_i)}]|</math> לפי משוואת המחלקות <math>\ p||Z(G)|</math>. <math>\ Z(G)</math> חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר <math>\ p</math> וסיימנו.
===הוכחה נוספת===
| 