פונקציה יוצרת – הבדלי גרסאות

#'''הפונקציה היוצרת הסטנדרטית''' של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא [[טור חזקות|טור החזקות]] <math>\ G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא [[משתנה מקרי]] שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת לפי הנוסחה <math>\ G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(X=n)x^n</math>. במקרה כזה <math>\ G_X(1)=1</math>, ומן הנגזרות של <math>\ G_X</math> אפשר לקרוא את ה[[מומנט (סטטיסטיקה)|מומנטים]]: <math>\ G_X'(1)</math> שווה ל[[תוחלת]] של X, ובאופן כללי <math>\ G^{(k)}(1)</math> שווה לתוחלת של <math>\ \frac{X!}{(X-k)!}</math>. הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום <math>\ X+Y</math> שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: <math>\ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)</math>. <br />רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך <math>\ a_{n,m}</math> היא הפונקציה בשני משתנים, <math>\ G(x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n</math>.

#'''פונקציה יוצרת אקספוננציאלית''': <math>EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>. מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על ידי גזירה n פעמים והצבת 0: <math>\ a_n=EG^{(n)}(0)</math>. הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה <math>\ a_0,a_1,a_2,\dots</math> היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת <math>\ a_1,a_2,a_3,\dots</math>.

#'''פונקציה יוצרת פואסונית'''. <math>PG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!}</math>, המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות ב[[התפלגות פואסון]].

#'''סדרת לאמברט'''. <math>LG(x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}</math>.