הבעיה השלוש-עשרה של הילברט – הבדלי גרסאות

[[תורת גלואה]] קובעת ש[[ארבע פעולות החשבון|פעולות השדה]] ו[[הוצאת שורש]] מספיקות כדי למצוא [[שורש של פולינום|שורש]] של [[פולינום]] רק עד מעלה 4. עוד ב-[[1683]] הראה Tschirnhaus שאפשר להביא [[משוואה ממעלה חמישית]] לצורה <math>\ z^5+az+b=0</math>, שאותה אפשר לפתור באמצעות [[פונקציה היפרגאומטרית|פונקציות היפרגאומטריות]] של שני המשתנים a ו-b.

 

 

אחת המרכזיות שבהן - האם אפשר להציג כל [[פונקציה ממשית|פונקציה]] [[פונקציה רציפה|רציפה]] בשלושה משתנים, כהרכבה של פונקציות רציפות בשני משתנים? לנוסח הזה נתן [[ולדימיר ארנולד]] (אז סטודנט בן 19 של [[אנדריי קולמוגורוב]]) תשובה חיובית ב-[[1957]], שנה לאחר שקולמוגורוב הראה שכל פונקציה רציפה בכמה משתנים אפשר להרכיב מפונקציות של שלושה משתנים. (למעשה הראה ארנולד שכל פונקציה רציפה ב-n משתנים, בקוביה <math>\ [0,1]^n</math>, אפשר להציג כסכום של פונקציות רציפות של סכומים של פונקציות רציפות במשתנים הבודדים; ב-[[2009]] הראו Feng ו-Gartside שהמשפט תקף גם לפונקציות המוגדרות על כל המרחב האוקלידי).