ויקיפדיה

סריגי בראבה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
סוגי סריגים. בעזרת: http://tx.technion.ac.il/~ronen/lectures/pdf/SolidState.pdf והערך באנגלית
בעקבות הערה של משתמש:עוזי ו.
שורה 1:
'''סריגי ב{{דגש}}ְרָאבֶה''' הם [[מחלקת שקילות|מחלקות]] של [[סריג (גאומטריה)|סריגים]], הממוינות לפי מידת הסימטריהה[[סימטריה]] של הסריג. למיון זה חשיבות רבה במיון של [[גביש|גבישים]] על-פי המבנה ה[[מרחב (פיזיקה)|מרחב]]י שלהם, ובתחומים אחרים ב[[פיזיקת מצב מוצק|פיזיקה של מצב מוצק]]. סריגי בראבה קרויים על שמו של ה[[פיזיקאי]] ה[[צרפת]]י [[אוגוסט בראבה]] (Auguste Bravais) שגילה אותם ב-[[1848]].
 
== הקדמה ==
== הגדרה פורמלית ==
{{הפניה לערךערך מורחב|סריג קובי(גאומטריה)}}▼
 
סריג בראבה הוא [[סריג (גאומטריה) |סריג]] בעלהוא אוסף [[אינסוף|אינסופי]] של נקודות, הנוצר באמצעות אוסף בדיד של פעולות הזזה, כך שמתקיימת התכונה הבאה:
: ''הסריג נראה אותו דבר, מכל נקודה בסריג בה מביטים עליו.''
 
הגדרה נוספת, ושקולה לקודמת, מראה כיצד ליצור בפועל סריג בראבה <math>n</math>-[[ממד (מתמטיקה)|ממדי]]: נבחר <math>n</math> [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]]ים [[תלות לינארית|בלתי תלויים לינארית]], <math>\vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n}</math>. (קבוצה זו נקראת "[[בסיס פרימיטיבי]] לסריג", או לפעמים "בסיס ראשוני"). הקבוצה
 
:: <math>\ L = \left\{ \vec{R} = \lambda_1 \vec{e_1} + \cdots + \lambda_n \vec{e_n} \ | \ \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \in \mathbb{Z} \right\} </math>
 
היא סריג בראבה. במילים אחרות, הסריג [[פרישה לינאריתליניארית|נפרש]] על ידי כל [[צירוף לינארי|הצירופים הלינאריים]] ב[[מספר שלם|מקדמים שלמים]] של וקטורי הבסיס הפרימיטיבי. צירופים אלו (כלומר, איברי <math>L</math>), נקראים וקטורי סריג.
 
<math>n</math> הוקטורים בבסיס הפרימיטיבי מגדירים [[מקבילון]], המכונה [[תא יחידה]], שאיתו אפשר [[ריצוף (גאומטריה)|לרצף]] באופן מחזורי ושלם את המרחב.
מהגדרה זו נובע כי הבחירה בבסיס הפרימיטיבי <math>{e_i}</math> היא שרירותית, וניתן לבחור כבסיס לסריג כל <math>n</math> וקטורים, בתנאי שהם בלתי תלויים לינארית, וכל אחד מהם הוא צירוף לינארי במספרים שלמים של <math>{e_i}</math>.
 
== סימטריה ==
<math>n</math> הוקטורים בבסיס הפרימיטיבי מגדירים פאון מקבילי היוצר [[תא יחידה]], שאיתו אפשר [[ריצוף (גאומטריה)|לרצף]] באופן מחזורי ושלם את המרחב. בחירה בבסיס פרימיטיבי שונה לסריג עשויה להגדיר תא יחידה פרימיטיבי שונה; אם הבסיס הפרימיטיבי נבחר כך ש[[נפח]] הפאון הוא מינימלי, אומרים שתא היחידה הוא תא יחידה פרימיטיבי.
כל הסריגים מקיימים מספר תכונות:
 
* הסריג סימטריסימטריה ביחס להזזה בווקטור סריג. כלומר: אם נזיז את כל נקודות הסריג בווקטור סריג, נקבל בחזרה את אותו סריג.▼
=== תכונות ===
הסריג <math>L</math> ואיבריו (הנקראים וקטורי סריג), מקיימים מספר תכונות:
* <math>L</math> סגור ביחס לחיבור וחיסור וקטורי סריג, וכן ביחס לכפל בסקלר שהוא [[מספר שלם]].
::במילים אחרות: אם <math>v_1,v_2</math> הם וקטורי סריג, ו-<math>n,m</math> מספרים שלמים, אז גם <math>n v_1 + m v_2</math> הוא וקטור סריג.
▲* הסריג סימטרי ביחס להזזה בווקטור סריג. כלומר: אם נזיז את כל נקודות הסריג בווקטור סריג, נקבל בחזרה את אותו סריג.
::באופן מתמטי: אם <math>v\in L</math>, אז <math>L+v=L</math>.
* סימטריה לסיבוב ב-180° (או: <math>\pi</math> [[רדיאן|רדיאנים]]): אם נבחר נקודה במרחב, ונסובב סביבה את הסריג בחצי סיבוב, נקבל חזרה את אותו סריג.
* הסריג סימטרי ביחס לשיקוף מלא (כלומר: <math>\ L = - L</math>).
* סימטריה ביחס לשיקוף מלא: אם נעביר כל וקטור סריג, <math>\ v \to -v</math>, נקבל אותו סריג.
 
לעתים קרובות הסריג סימטרי גם ביחס ל[[סיבוב]]ים בזוויות מסוימות. זוויות אלה נקבעות על ידי מבנה הסריג עצמו (ראו פירוט בהמשך).
 
== דוגמה: סריג קובי ==▼
▲{{הפניה לערך מורחב|סריג קובי}}
[[תמונה:Cubic crystal shape.png|150px|ממוזער|סריג קובי פשוט]] ▼
סריג קובי פשוט הוא סריג שכל צלעותיו זהות באורכן וניצבות זו לזו. למעשה, ניתן לתארו כריצוף כל ה[[מרחב (פיזיקה)|מרחב]] התלת-ממדי ב[[קוביה|קוביות]] (באופן דומה לריצוף דף דו-ממדי ב[[משבצת|משבצות]] [[ריבוע|ריבועיות]]).▼
 
באופן מתמטי, סריג קובי בעל צלע a (אורך אופייני זה נקרא "קבוע הסריג") נפרש (במקדמים שלמים) על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא:
: <math>\ \vec{e_1} = a \hat{x} \ ; \ \vec{e_2} = a \hat{y} \ ; \vec{e_3} = a \hat{z} </math>▼
תא היחידה הפרימיטיבי כאן הוא קובייה שנפחה a<sup>3</sup>.▼
 
הסימטריות הנוספות שעשויות להיות לסריגים מחלקות אותם לקבוצות ([[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]]), תוך התעלמות מהגדלים הפיזיים של הסריג ([[פרמטר סריג|פרמטרי הסריג]]) – קבוצות אלו הן סריגי בראבה.
הסריג הקובי מופיע בהרבה [[מינרל|מינרלים]] ו[[גביש|גבישים]], לרבות [[מתכת|מתכות]]. הוא פשוט לתיאור וטיפול מתמטי ולכן שימושי.
 
== סריגי בראבה דו ממדיים ==
ב-0 ממדים ובממד אחד, יש רק סוג אחד של סריג בראבה אחד.
 
ב-2בשני ממדים, ניתן להבחין בין חמישה סוגים של סריגי בראבה, לפי מידת ה[[סימטריה]] שיש לכל אחד מהם, בנוסף לסימטריות שיש לכל הסריגים:
[[Image:2d-bravais.svg|750px|center]]
[[Image:2d-bravais.svg|650px|center|חמשת הסוגים של סריגי בראבה בשני ממדים: 1: כללי (oblique). 2: מלבני. 3: מלבני ממורכז. 4: משושה. 5: מרובע.]]
# לסריג '''כללי''' (oblique) ישאין סימטריהסימטריות להזזה, לשיקוף מלא ולסיבוב ב-180°נוספות.
# לסריג '''מלבני''' (rectangular) יש, בנוסף לסימטריות של סריג כללי, סימטריה לשיקוף ביחס לשני מישורים (קווים במרחב הדו-ממדי).
# לסריג '''מלבני ממורכז''' (centered rectangular){{הערה|בנוסף על התנאי המפורש באיור, סריג זה מקיים את התנאי <math>2\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1\perp \mathbf{a}_1</math>. תנאי זה גורם לכך שהסריג יהיה מלבני, אך גם מכריח <math>\varphi \neq 90^\circ</math>.}} יש אותן סימטריות סיבוב ושיקוף של סריג מלבני, אבל סימטריות הזזה שונות.
# לסריג '''משושה''' (hexagonal) יש, (בנוסף לסימטריה של סריג כללי)מלבני ממורכז, סימטריה לסיבוב בכפולות של 30° (או: <math>\tfrac{\pi}{6}</math> רדיאנים).
# לסריג '''ריבועי''' (square) יש, בנוסף לסימטריה של סריג מלבני, סימטריה לסיבוב ב-90° (<math>\tfrac{\pi}{2}</math> רדיאנים), ולשיקוף ביחס ל"אלכסון" של הריבוע.
 
== סריגי בראבה תלת ממדיים ==
ניתן להראות שיש בסך הכול 14 סריגי בראבה תלת-ממדיים אפשריים. הללו מתבססים על 7 [[פאון|פאונים]] מקביליםמקבילונים (7 [[מערכת גבישית|מערכות צירים גבישיות]]), עם 46 אפשרויות הוספתלהוספת נקודות סריג נוספות במרכזי הפאות או הגוף.▼
 
שש האפשרויות להוספת נקודות ("מרכוז"; "centering") הן:▼
▲ניתן להראות שיש בסך הכול 14 סריגי בראבה תלת-ממדיים אפשריים. הללו מתבססים על 7 [[פאון|פאונים]] מקבילים (7 מערכות צירים גבישיות), עם 4 אפשרויות הוספת נקודות סריג נוספות במרכזי הפאות או הגוף.
* '''P''' – '''פשוט''' (Primitive centering) – ללא הוספת נקודות.
* '''I'''{{הערה|לפעמים מסומן ב-'''B'''.}} – '''ממורכז גוף''' (Body centered; BC) – מוסיפים נקודת סריג אחת במרכז כל תא.
* '''ממורכז פאהF''' (– '''Fממורכז פאה''' (Face centered; FC) - מוסיפים נקודת סריג אחת בכל פאה של תא היחידה – באנגלית נקרא Face centered או FC.▼
* '''מרכז חד-פאהC''' (– '''Cמרכז חד-פאה''' (Base centered) - בוחרים זוג אחד מפאותיו של תא היחידה ומוסיפים להם נקודת סריג אחת לכל פאה (הוספת נקודת סריג בפאה השנייה מתחייבת מסימטריה ביחס להזזה בווקטור סריג). אלו 3 אפשרויות, שכן יש 3 אפשרויות לבחור את זוג הפאות שיתווספו להן נקודות סריג.▼
 
לכאורה, מהאמור לעיל אמורים להתקבל 42 מבני סריג אפשריים במרחב [[תלת ממד|תלת ממדי]] (7 ציריםמערכות גבישיות כפול 6 אפשרויות להוספת נקודות). ברםאולם, כאשר מנסים לבנות אותם מגלים שחלק גדול מהמבנים האפשריים זהים למבנים אחרים. עם הפחתת הכפילויות מגלים שיש בסך הכול 14 סריגים תלת-ממדיים השונים זה מזה, והם מסוכמים בטבלה להלן:▼
▲שש האפשרויות להוספת נקודות ("centering") הן:
* '''פינות בלבד''' ('''P''') – נקרא Primitive centering.
* '''ממורכז גוף''' ('''B''' או '''I''') – מוסיפים נקודת סריג אחת במרכז כל תא – באנגלית נקרא Body centered או BC.
▲* '''ממורכז פאה''' ('''F''') - מוסיפים נקודת סריג אחת בכל פאה של תא היחידה – באנגלית נקרא Face centered או FC.
▲* '''מרכז חד-פאה''' ('''C''') - בוחרים זוג אחד מפאותיו של תא היחידה ומוסיפים להם נקודת סריג אחת לכל פאה (הוספת נקודת סריג בפאה השנייה מתחייבת מסימטריה ביחס להזזה בווקטור סריג). אלו 3 אפשרויות, שכן יש 3 אפשרויות לבחור את זוג הפאות שיתווספו להן נקודות סריג.
 
▲לכאורה, מהאמור לעיל אמורים להתקבל 42 מבני סריג אפשריים במרחב [[תלת ממד|תלת ממדי]] (7 צירים כפול 6 אפשרויות להוספת נקודות). ברם, כאשר מנסים לבנות אותם מגלים שחלק גדול מהמבנים האפשריים זהים למבנים אחרים. עם הפחתת הכפילויות מגלים שיש בסך הכול 14 סריגים תלת-ממדיים השונים זה מזה, והם מסוכמים בטבלה להלן:
 
{| align=right border=1 style=margin-right:1em
שורה 64 ⟵ 50:
|colspan=4 align=center| '''סריג:'''
|-
|colspan=1 align=center| [[טריקליני]]{{ש}}(Triclinic)
|| [[תמונה:Triclinic.svg|80px|טריקלינית]]
|-
|rowspan=2 align=center| [[מונוקליני]]{{ש}}(Monoclinic)
|align=center| פשוט
|align=center| ממורכז בסיס
שורה 74 ⟵ 60:
|| [[תמונה:Monoclinic-base-centered.svg|80px|מונוקליני, ממורכז]]
|-
|rowspan=2 align=center| [[אורתורומבי]]{{ש}}(Orthorhombic)
|align=center| פשוט
|align=center| ממורכז בסיס
שורה 85 ⟵ 71:
|| [[תמונה:Orthorhombic-face-centered.svg|80px|אורתורומבי, ממורכז פאה]]
|-
|align=center| [[המערכת הגבישית ההקסגונלית|משושה]]{{ש}}(Hexagonal)
| [[תמונה:Hexagonal lattice.svg|80px|משושה]]
|-
|align=center| [[טריגונלי]] (או: רומבוהדרלי){{ש}}(Trigonal; Rhombohedral)
| [[תמונה:Rhombohedral.svg|80px|רומבוהדרלי]]
|-
|rowspan=2 align=center| [[טטרגונלי]]{{ש}}(Tetragonal)
|align=center|פשוט
|align=center| ממורכז גוף
שורה 99 ⟵ 85:
|-
 
|rowspan=2 align=center| [[קובייתי]]{{ש}}(Cubic)
|align=center| פשוט
|align=center| ממורכז גוף
שורה 110 ⟵ 96:
{{-}}
 
[[חבורת סימטריות נקודתית|חבורות הסימטריות הנקודתיות]] של כל אחד מהסריגים האלו תלויות, ב[[מערכת גבישית|מערכת הגבישית]]. בנוסף, כתלות במרכוז, יש לכל אחד מהסריגים [[חבורת סימטריות מרחבית|חבורות סימטריות מרחביות]].
== ראו גם ==▼
 
▲== דוגמה: סריג קובי פשוט ==
{{ערך מורחב|המערכת הגבישית הקובייתית}}
▲[[תמונה:Cubic crystal shape.png|150px|ממוזער|סריג קובי פשוט]]
▲סריג קובי פשוט הוא סריג שכל צלעותיו זהות באורכן וניצבות זו לזו. למעשה, ניתן לתארולחשוב עליו כעל כריצוףריצוף כל ה[[מרחב (פיזיקה)|מרחב]] התלת-ממדי ב[[קוביה|קוביות]] (באופן דומה לריצוף דף דו-ממדי ב[[משבצת|משבצות]] [[ריבוע|ריבועיות]]).
 
כדי לתאר סריג ספציפי לא מספיק לתאר את סריג בראבה שלו (קובי, בדוגמה זו), אלא גם פרמטרים נוספים (במקרה זה, אורך הצלע), הנקראים "פרמטרי סריג". אם ידוע שאורך הצלע הוא a, אז התיאור המתמטי שלו יהיה קבוצת הוקטורים שנפרשת (במקדמים שלמים) על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא:
▲: <math>\ \vec{e_1} = a \hat{x} \ ; \ \vec{e_2} = a \hat{y} \ ; \vec{e_3} = a \hat{z} </math>
▲במקרה זה, ניתן לבחור את תא היחידה הפרימיטיבי כאן הוא קובייהכקובייה שנפחה a<sup>3</sup>.
 
לסריג כזה יש שלושה צירי סימטריה לסיבוב ב-90°, ארבעה צירי סימטריה לסיבוב ב-120°, שישה צירי סימטריה לסיבוב ב-180°, תשעה מישורי סימטריה לשיקוף ומרכז סימטריה. לכן, משוייכות לו 5 חבורות סימטריה נקודתיות{{הערה|המשוייכות גם לסריג הקובי ממורכז הגוף (BCC) וגם לסריג הקובי ממורכז הפאה (FCC): הטטרטואידלית‏, הדיפלואידלית‏, הגירודיאלית‏, ההקסטטרהדרלית‏ וההקסאוקטהדרלית‏.}}, ו-15 חבורות סימטריה מרחביות.
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
 
▲== ראו גם ==
* [[פרמטר סריג]]
* [[סריג הופכי]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סריגי_בראבה"