מספר מדומה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Bot: Removing Link FA template |
מ ←פתיח: , תיקון קישור |
||
שורה 1:
'''מספר מדומה''' (או "'''מספר דמיוני'''" הפחות מקובל) הוא [[מספר מרוכב]] ש[[ריבוע (חזקה)|ריבועו]] הוא [[מספר ממשי]] שלילי. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה <math>\ ib</math>, כאשר <math>\ b</math> הוא מספר ממשי, ו-<math>\ i</math> הוא "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני ה[[שורש ריבועי|שורשים]], <math>\ i</math> ו-<math>\ -i</math> של מינוס אחת: <math>\ i^2=-1</math>).
כיוון שה[[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] של כל מספר ממשי הוא [[מספר חיובי|חיובי]] או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ב[[שדה המספרים הממשיים]]. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, <math>\ i</math>, ושילובו ב[[שדה המספרים הממשיים]], מתקבל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[הרחבת שדות|גדול יותר]], הנקרא "[[שדה המספרים המרוכבים]]"; המספרים המרוכבים הם כולם מן הצורה <math>\ a+ib</math> כאשר <math>\ a, b</math> מספרים ממשיים. שדה המספרים המרוכבים [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[שורש של מספר|הוצאת שורש]] בכלל, ול[[הוצאת שורש ריבועי]] בפרט.
==היסטוריה==
כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי ב[[שדה המספרים הממשיים]], מתמטיקאים התייחסו אל [[משוואה]] כגון <math>\!\, x^2+1=0</math> כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר [[ג'ירולמו קרדאנו]] גילה, בתחילת [[המאה ה-16]], שהדרך לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]], גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.
בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת [[1572]], על ידי [[רפאל בומבלי]] (Rafael Bombelli). באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת [[1637]], התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". את האות i, שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר [[לאונרד אוילר|אוילר]] ב-[[1777]]; פיזיקאים מעדיפים לסמן מספר זה באות j, כדי לא להתנגש עם האות המייצגת [[זרם חשמלי|זרם]].
== מאפיינים אלגבריים ==
| |||