מחלקה מונוטונית

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות שהיא בעלת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקה מונוטונית לבין סיגמא-אלגברה, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

הגדרות

תהי $X$ קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset ...$, מתקיים כי $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.
2. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\supset E_{2}\supset E_{3}\supset ...$, מתקיים כי $\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.

משפט המחלקה המונוטונית

תהי $X$ קבוצה ותהי $P\subset {\mathcal {P}}(X)$ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי $P$ להיות ${\mathcal {C}}(P)$, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $P$ להיות $\sigma (P)$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {C}}(P)$ היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את $P$ וכי $\sigma (P)$ היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $P$.

משפט: תהי ${\mathcal {A}}$ אלגברה של קבוצות על קבוצה $X$ (כלומר ${\mathcal {A}}$ משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}})$.

הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}})$. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי $E\in {\mathcal {C}}(A)$. נגדיר ${\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\}$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי $\emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $E_{1}\in {\mathcal {R}}(E_{2})\iff E_{2}\in {\mathcal {R}}(E_{2})$.

לכל $E\in {\mathcal {A}}$, לכל $B\in {\mathcal {A}}$ מתקיים כי $B\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. לכן נובע כי ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E)$. נזכור כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $F\in {\mathcal {R}}(E)$, ובאופן שקול $E\in {\mathcal {R}}(F)$, ולכן נובע כי גם ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F)$ לכל $F\in {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F)$, כלומר $F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$, ולכן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מהווה אלגברה.