משפט פוביני – הבדלי גרסאות

הוסרו 53 בתים ,  לפני 6 שנים
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד
==הכרחיות התנאים==
 
המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות לבג בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים. להלן דוגמאות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.
 
===כישלון משפט פוביני עבור פונקציות לא אינטגרביליות===
</center>
 
לא קשה לראות כי סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:
<center>
<math>\int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\frac{\pi}{4}</math>
 
===כישלון משפט פוביני עבור מרחבים לא סיגמא-סופיים===
נתבונן במרחב המידה <math>[0,1] \times [0,1] </math>, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ו[[מידת לבג]] והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה <math>2^{\mathbb{N}}</math> ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.
 
נתבונן במרחב המידה <math>[0,1] \times [0,1] </math>, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ו[[מידת לבג]] והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה <math>2^{\mathbb{N}}</math> ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.
לא קשה לראות שבמרחב זה, קבוצת האלכסון <math> \{ (x,x) | x \in [0,1] \}</math> היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.
 
לאנתבונן קשה לראות שבמרחב זה, קבוצתבקבוצת האלכסון <math> \{ (x,x) | x \in [0,1] \}</math>. קבוצה זו היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.
 
==הוכחה==