|
'''מספר חיובי''' הוא [[מספר ממשי]] הגדול מ-[[0 (מספר)|0]]. מספר זה שווה ל[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של עצמו. המספרים החיוביים הם [[קבוצה (מתמטיקה)|תת-קבוצה]] של קבוצת ה'''מספרים האי-שליליים''', הכוללת את כל המספרים החיוביים והמשפריםוהשלילים. השללים'''מספר שלילי''' הוא מספר הקטן מ-[[0 (מספר)|0]]. [[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] של מספר שלילי שווה ל[[מספר נגדי|מספר הנגדי]] לו. מספר שלילי נכתב עם סימן מינוס לפניו. לדוגמה, 5- מבטא מספר שלילי שערכו המוחלט הוא 5. השימוש במספרים מכוּונים בחיי יומיום הוא רב. למשל במדידת טמפרטורות (מעל ומתחת לאפס), במדידת גבהים (מעל ומתחת לגובה פני הים) ובקביעת מצב חשבון הבנק (יתרה חיובית ויתרה שלילית). כאשר נהגה רעיון המספרים השליליים, הדבר קודם בסערה, כיוון שבאותה העת היה זה צעד מאוד לא אינטואיטיבי, ואף התפרסמו מאמרי ביקורת אשר יצאו נגד המספרים החדשים.
'''מספר שלילי''' הוא מספר הקטן מ-[[0 (מספר)|0]]. [[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] של מספר שלילי שווה ל[[מספר נגדי|מספר הנגדי]] לו. מספר שלילי נכתב עם סימן מינוס לפניו. לדוגמה, 5- מבטא מספר שלילי שערכו המוחלט הוא 5. השימוש במספרים מכוּונים בחיי יומיום הוא רב. למשל במדידת טמפרטורות (מעל ומתחת לאפס), במדידת גבהים (מעל ומתחת לגובה פני הים) ובקביעת מצב חשבון הבנק (יתרה חיובית ויתרה שלילית).
כאשר נהגה רעיון המספרים השליליים, הדבר קודם בסערה, כיוון שבאותה העת היה זה צעד מאוד לא אינטואיטיבי, ואף התפרסמו מאמרי ביקורת אשר יצאו נגד המספרים החדשים.
מספרים חיוביים ושליליים יחד נקראים "מספרים מכוונים".
[[אוקלידס]], בספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", זיהה את המושג "מספר" עם [[אורך]] של [[קטע]], וכך קיבע אל תוך המחשבה המערבית את התפיסה שלפיה המספרים השליליים אינם "אמיתיים", אלא לכל היותר כלי עזר לחישוב. במאות ה-15 וה-16 הקונצנזוס באירופה היה שמספרים שליליים הם אבסורדיים.
[[ז'אן לה-רון ד'אלמבר]], בחיבורו "הבהרה על יסודות האלגברה" (סביבות 1765) כתב: "יש המתייחסים אליהם [אל המספרים השליליים] כאל פחות ממאומה, מושג אבסורדי בפני עצמו; יש המתייחסים אליהם כאל חוב - רעיון מוגבל, ובשל כך בלתי -מדויק; אחרים רואים בהם גדלים הפוכים בכיוונם לחיובי - רעיון שהגאומטריה תומכת בו בדוגמאות, אך יש לו יוצאי דופן תכופים". ב-1758 כתב [[פרנסיס מסרס]] (1731-1824), חבר ה-Clare College ב[[קיימברידג']] "תזה על השימוש בסימן השלילי באלגברה", ובה דחה את הרעיון של מספרים שליליים כשלעצמם. בפרט, הוא טען, לא ייתכן שלמספר יהיו שני [[שורש ריבועי|שורשים]] שונים (חיובי ושלילי).
גישה זו השתנתה רק באמצע [[המאה ה-19]], עם תחילת עלייתה של ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]]. בשנת [[1843]] כתב [[אוגוסטוס דה מורגן]]: "היצירים האלה [המספרים השליליים] זכו בקיומם, למרות החוסר הברור בהסבר רציונלי, המאפיין כל ניסיון לתאוריה שלהם". עם זאת, כיסי התנגדות למושג המספר השלילי נותרו עד זמן מאוחר כסוף המאה ה-19. ב-[[1890]] כתב [[אנטוניו חוסה טייקסאירה]] (1830-1900) ש"לכמויות שליליות אין כל קיום אריתמטי".
במזרח הרחוק, לעומת זאת, המספרים השליליים טופלו באותם כלים כמו המספרים החיוביים: ב[[סין]], כבר מן המאה ה-2 לפני הספירהלפנה"ס [[מוטות מנייה|מוטות]] אדומים, ממוזלים, סימנו מספרים חיוביים, ומוטות שחורים סימנו מספרים שליליים. המספרים השליליים הוכרו כלגיטימיים בשלבי הביניים של פתרון הבעיה, אבל לא כתוצאה סופית. כללים מפורשים לטיפול במספרים שליליים מופיעים אצל [[בראהמגופטה]] ב[[הודו]], בסביבות שנת 650 לספירה.
==[[פונקציה|פונקציות]] ו[[פעולה בינארית|פעולות]] על מספרים חיוביים ושליליים==
* [[כפל]] - באופן כללי הכפלת מספר שלילי בחיובי יוצרת מספר שלילי , והכפלת שלילי בשלילי יוצרת חיובי. לדוגמה <math>-2 \cdot -15 = 30</math>.
* [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] - כאשר מספר שלילי נמצא במעריך , אין בעיה להגדיר חזקה: <math>x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}</math>. כאשר רוצים להגדיר חזקה את מספר שלילי ב[[מספר מרוכב]] ניתן להגדיר אותה כך:<math>(-x)^{t} = x^t(-1^{t})=x^t(e^{it\pi})=x^t(i\sin{t\pi}+\cos{t\pi})</math>. מקרה זה מכליל את <math>\sqrt{-n^2}=in</math>. לדוגמה <math>(-16)^{\frac{-3}{4}}
= \frac{i+1}{8\sqrt{2}}</math>.
* [[עצרת]] - עצרת של מספר שלילי נקבעת ע"פ [[פונקציית גמא]]. במספרים שליליים [[מספר שלם|שלמים]] יש [[קוטב]] , אך בשאר הנקודות אין בעיה בהגדרה.
* [[פונקציית זטא של רימן]] - עבור שלמים שליליים מתקיים <math>\zeta \left (-n\right) = - \frac{B_{n+1}}{n+1}</math> כאשר <math>B_{n+1}</math> הוא [[מספרי ברנולי|מספר ברנולי]] הn+1.לדוגמה <math>\zeta(-1)= \frac{-1}{12}</math>.
* [[לוגריתם]] - לצורך הגדרת הלוגוריתםהלוגריתם של מספרים שליליים נשתמש לצורך העניין בlnב-ln שעלפיושעל פיו ניתן להגדיר בקלות לוגוריתםלוגריתם על כל בסיס אחר. ניתן להגדירו כך: <math>\ln{-n}= \ln{(-1)}+\ln{n} = i\pi + \ln {n}</math>.
==ראו גם==
| 