פונקציה הולומורפית – הבדלי גרסאות

התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה ב[[מסילה (מתמטיקה)|מסלול]] שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). מכיוון שכל [[מספר מרוכב]] מזוהה עם [[זוג סדור|זוג סדור]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור 2 המשתנים הממשיים - משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא ב[[משוואות קושי רימן]]{{הערה|אך לא בהן בלבד. על הפונקציה הממשית הזו להיות גם [[פונקציה דיפרנציאבילית|דיפרנציאבילית]]. ניתן להגיע למשוואות ללא קושי רב אם לוקחים בחשבון שפונקציה הולומורפית היא כזו שנגזרתה בנקודה כלשהי איננה תלויה במסלול שעושה המשתנה בדרכו לנקודה, והקורא עשוי למצוא עניין בלגלות את המשוואות בכוחות עצמו. }}.

 

 

החשיבות העיקרית של הפונקציות ההולומורפיות נובעת מהעובדה שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים הן הולומורפיות. למשל [[פולינום|פולינומים]], ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], ה[[אקספוננט]] ו[[פונקציית זטא של רימן|פונקציית הזטא של רימן]] - כולן פונקציות הולומורפיות. [[משפט ההעתקה של רימן]] מראה במובן מסוים עד כמה גדול הוא המגוון האפשרי של הפונקציות ההולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.