תורת המספרים – הבדלי גרסאות

ב'''תורת המספרים האלמנטרית''' נחקרות תכונותיהם של המספרים השלמים ללא ניצולן של טכניקות מענפי מתמטיקה אחרים. שאלות הקשורות ל[[מחלק|התחלקות]], [[האלגוריתם של אוקלידס]] למציאת [[מחלק משותף מקסימלי]], [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]] [[מספר ראשוני|ראשוניים]], [[מספר משוכלל|מספרים מושלמיםמשוכללים]] ו[[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]] נמצאות בתחום זה. משפטים מרכזיים הם [[המשפט הקטן של פרמה]] ו[[משפט אוילר]] המכליל אותו, [[משפט השאריות הסיני]], ו[[משפט ההדדיות הריבועית]]. נלמדות גם [[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]], כמו [[פונקציית אוילר|הפונקציה <math>\ \varphi</math>]] ([[פי]]) של [[לאונרד אוילר|אוילר]], שהן פונקציות המוגדרות על-פי תכונות מספריות.

'''תורת המספרים האנליטית''' משתמשת בכלים של [[חשבון אינפיניטסימלי]] ו[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]] כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים. כלים אלה הם שימושיים ביותר בחקר תכונותיהם של המספרים הראשוניים: [[משפט המספרים הראשוניים]], משפט מרכזי המתאר את צפיפותם של מספרים אלה, הוכח באמצעות כלים אנליטיים, וכמוהו גם תוצאות רבות אחרות הקשורות בראשוניים (ב- [[1949]] מצאו [[פאול ארדש]] ו[[אטלה סלברג]] הוכחה 'אלמנטרית' למשפט המספרים הראשוניים; הוכחה זו אינה משתמשת בכלים אנליטיים, אבל היא נחשבת למסובכת וקשה יותר מן ההוכחה האנליטית). [[השערת רימן]] היא בעיה פתוחה חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] נחקרות באמצעים דומים.

המספרים הטבעיים מלווים את האדם משחר התרבות. לא ידוע מתי בדיוק נולד העניין בשאלות "מופשטות" הקשורות במספרים, שאלות שאינן קשורות ישירות בספירת עצמים. טבלאות [[בבל|בבליות]] קדומות, מהתקופה שבין 1900 ל-1600 לפנה"ס, דנות ב[[שלשה פיתגוראיתפיתגורית|שלשות פיתגוראיות]], דהיינו מספרים שלמים המקיימים את התנאי <math>a^2+b^2 = c^2</math>. טבלה מפורסמת בשם [[פלימפטון 322]] שנחשבה בתחילה כמכילה רישום עסקאות מסחריות, היא למעשה רשימה מסודרת ומדויקת למדי של שלשות כאלה, אם כי אין זה ודאי שלכך הבבלים כיוונו.