משפט המספרים הראשוניים – הבדלי גרסאות

שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב <math>\ \pi(x) \sim \operatorname{Li}(x)</math>, כאשר <math>\ \operatorname{Li}(x)</math> היא [[האינטגרל הלוגריתמי ההפוך|פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך]], <math>\ \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t} dt</math>. מבחינת [[ניתוח אסימפטוטי|אסימפטוטיקה]]^{{{אנ|Asymptotic analysis}}} מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה <math>\ \frac{x}{\ln x}</math>, משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים (ראו [[השערת רימן]]), והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה.

מסמנים ב- <math>\ \pi_k(x)</math> את מספרם של המספרים הקטנים מ-x, שיש להם בדיוק k גורמים ראשוניים. גאוס שיער ש-: <math>\ \pi_k(x)\sim \frac{x( \ln\ln x)^{k-1}}{(k-1)! \ln x}</math>. השערה זו הוכחה על ידי [[אדמונד לנדאו|לנדאו]] ב-1900
{{הערה|Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.20, 5th edition, 1979.}}.