נקודת השוויון – הבדלי גרסאות

נקרא ל[[חרוט]] שקודקודו במרכז הארץ ובסיסו X בשם חרוט A, ולחרוט שקודקודו במרכז כדור הארץ ובסיסו Y נקרא חרוט B. מטעמי סימטריה מספיק להוכיח את הטענה עבור חצי הכדור הצפוני, וכך תנבע גם נכונות הטענה לחצי הכדור הדרומי. לאוסף כל הקשתות המעגליות המפרידות בין חצי הכדור המואר לחצי הכדור החשוך יש שתי נקודות משותפות, ונקרא לעליונה שבהם <math>P'</math> ולתחתונה <math>Q'</math>. בנקודת ההיפוך ציר כדור הארץ, הקו המחבר בין <math>P'</math> ו-<math>Q'</math>, והכיוון ממנו מגיעות קרני השמש, נחים כולם על אותו מישור ולכן ניתן להיעזר בגאומטריה מישורית כדי למצוא את אורך היום בתלות בקו הרוחב. לשם כך ניעזר ב[[הטלה (מתמטיקה)|הטלות]] גרפיות. רדיוס החתך X הוא <math>r_X = cos (\pi/2 - \theta_0) = sin(\theta_0)</math> ורדיוס החתך Y הוא <math>r_yr_Y = cos(\lambda)</math> (כיוון שהתוצאה אינה תלויה ברדיוס כדור הארץ הנחנו שהוא 1). נקרא לנקודת החיתוך של <math>P'Q'</math> עם Y בשם <math>P</math> ולמרכז המעגל Y בשם O. אזי מתקיים מדמיון משולשים שרדיוס חיתוך החרוט A עם Y הוא: <math>OP = r_X*sin(\lambda)/cos(\theta_0)</math>. היטל הקשת המעגלית המתאימה לגבול חצי הכדור המואר בנקודת ההיפוך על Y הוא קו ישר המאונך ל-<math>OP</math>, כמוראה באיור. לפיכך נקבל אחרי פישוט אלגברי: <math>cos (\alpha/2) = OP/R = tan (\lambda) tan (\theta_0) </math>. ובכך הוכחה נכונות הטענה לנקודות ההיפוך.