אלגברה מדורגת – הבדלי גרסאות

[[אידאל (אלגברה)|אידאל]] I של אלגברה מדורגת הוא '''אידאל מדורגהומוגני''', אם הוא מתפרק לסכום ישר <math>\ I = \oplus (I \cap A_n)</math>; במלים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ A/I</math> הוא מדורג, <math>\ A/I = \oplus A_n/(I \cap A_n)</math>. לכל אידאל ניתן להגדיר את '''הליבה ההומוגנית''' שלו בתור סכום האידאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו.
האידאל המדורגההומוגני <math>P</math> נקרא [[אידאל ראשוני|ראשוני]] אם לכל שני אידאלים מדורגים <math>I,J</math> מתקיים <math>I \subset P</math> או <math>J\subset P</math> רק אם <math>IJ\subset P</math>. אוסף האידאלים הראשוניים המדורגים של החוג <math>Spec^{gr}(R)</math> הוא ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] הראשוני של החוג, ומסמנים <math>rad^{gr}(R) = \cap{Spec^{gr}(R)}</math> - הרדיקל הראשוני המדורג. החוג נקרא '''מדורג ראשוני למחצה''' אם <math>rad^{gr}(R)=0</math>, וכמו במקרה הלא מדורג, זה קורה אם ורק אם אין לו [[אידאל נילפוטנטי|אידאלים מדורגים נילפוטנטיים]].