אי-תלות (הסתברות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון שגיאות כתיב |
תיקון לפי הערות בדף השיחה |
||
שורה 1:
ב[[תורת ההסתברות]], שני [[מאורע (הסתברות)|מאורעות]] הם '''תלויים סטטיסטית''' אם הידיעה על התרחשותו של אחד מהם משנה את ה[[הסתברות]] להתרחשות המאורע האחר. מאורעות שאינם תלויים סטטיסטית נקראים '''בלתי תלויים''' '''סטטיסטית'''. מקובל להשמיט את תוספת המילה "סטטיסטית" כאשר ההקשר ברור, אך יש להבחין בין תלות סטטיסטית ל[[תלות לינארית]].
=== הגדרה ===
הגדרה שקולה, ומעט פשוטה יותר, הינה הבאה: שני מאורעות הינם בלתי תלויים אם ורק אם הסתברות מאורע כלשהו איננה משתנה כאשר היא מותנית במאורע האחר, כלומר: <math>\ \mathbb{P}\{A\} = \mathbb{P}\{A|B\}</math>. נוסחה זו מתקבלת על-ידי ההגדרה הבסיסית בשילוב עם [[חוק בייס]], והינה אינטואיטיבית מעט יותר, מכיוון שהיא איננה מתייחסת להסתברות המשותפת של שני המאורעות; אם כל מידע שמוענק על-ידי ידיעת מאורע כלשהו אינה משנה את ההסתברות של מאורע אחר, הרי שהמאורעות בלתי תלויים.
'''דוגמא''': מיכל ושני רוכשות כרטיסי [[לוטו]] וממלאות ניחושים שונים. המאורע 'מיכל זכתה בפרס הראשון' והמאורע 'שני זכתה בפרס הראשון' תלויים, מכיוון שהניחושים שונים, והידיעה על זכייתה של שני הופכת את ההסתברות לזכייתה של מיכל ל-0, כאשר לפני כן ההסתברות היתה אמנם קטנה אך גדולה ממש מ[[0 (מספר)|אפס]]. לעומת זאת, המאורע 'מיכל לא זכתה בפרס הגדול בכל ההגרלות הקודמות' והמאורע 'מיכל תזכה בפרס הגדול בהגרלה הבאה' הינם בלתי תלויים, שכן הידיעה על זכייתה של מיכל בהגרלה כלשהי איננה משנה את ההסתברות לזכיה מחודשת.
'''הערה''': ניתן לשים לב כי אם שני [[מאורע (הסתברות)|מאורעות]] הינם זרים הם גם תלויים, שכן ידיעת קיומו של האחד מבטיחה את אי קיומו של האחר. לפי הגדרה, נקבל <math>\ \mathbb{P}\{A\cap B\} = 0</math> ודבר זה יעיד על אי-תלות רק במקרה מנוון שבו <math>\mathbb{P}\{A\} =0</math> או <math>\mathbb{P}\{B\} =0</math>.▼
=== תלות ואי תלות של משתנים מקריים ===
ההגדרה לעיל מתייחסת למאורעות, אך הגדרת התלות מוצגת באופן דומה גם עבור [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]: שני משתנים מקריים <math>X</math> ו-<math>Y</math> הם בלתי תלויים אם ורק אם [[פונקציית ההסתברות המצטברת]] שלהם מקיימת: <math>F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)\cdot F_Y(y)</math>. נשים לב כי הגדרה זו כוללת הן [[משתנה מקרי בדיד|משתנים מקריים בדידים]] והן [[משתנה מקרי רציף|משתנים מקריים רציפים]]. במקרה שבו קיימת למשתנים המקריים הנתונים גם [[פונקציית צפיפות הסתברות]], הם בלתי תלויים אם ורק אם <math>f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y)</math>.
משמעות הביטויים לעיל בעלת חשיבות רבה בהסתברות וסטטיסטיקה. כאשר המשתנים תלויים, יש לטפל בפונקציית ההסתברות '''המשותפת''', פונקציה דו-מימדית (או רב-מימדית במקרה הכללי), ואילו כאשר המשתנים בלי תלויים, ניתן לטפל במקום זאת באוסף פונקציות חד-מימדיות, אותן לרוב קל יותר [[אמידה|לשערך]].
▲ניתן לשים לב כי אם שני [[מאורע (הסתברות)|מאורעות]] הינם זרים הם גם תלויים, שכן ידיעת קיומו של האחד מבטיחה את אי קיומו של האחר. לפי הגדרה, נקבל <math>\ \mathbb{P}\{A\cap B\} = 0</math> ודבר זה יעיד על אי-תלות רק במקרה מנוון שבו <math>\mathbb{P}\{A\} = \mathbb{P}\{B\}=0</math>.
== משתנים מקריים בלתי מתואמים (חסרי קורלציה) ==
שורה 39 ⟵ 41:
במקרה של אוסף משתנים מקריים בלתי תלויים, כל תת-אוסף של משתנים יהיה גם הוא בלתי תלוי, אך ההפך אינו נכון: אי-תלות של תתי קבוצות מתוך אוסף משתנים מקריים אינו מעיד, באופן כללי, על אי-תלות של אוסף כל המשתנים המקריים.
'''דוגמא''': יהיו <math>X,Y</math> זוג משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי פילוג, המקבלים את הערכים <math>\pm 1</math> בהסתברות שווה. נסמן <math>Z=X\cdot Y</math>.
== סימוכין ==
| |||