טופולוגיה מושרית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ רובוט מוסיף: pt:Subespaço topológico |
הרחבה, הסרת קצרמר |
||
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], '''טופולוגיה מושרית''' (נקראת גם '''הטפולוגיה היחסית''', או '''טופולוגיית התת מרחב''') היא
יהי X מרחב טופולוגי עם [[טופולוגיה]] (אוסף [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]) O. יהי <math>\ Y \subset X</math> תת-קבוצה של X.
:<math>\ O_Y = \left\{ V\cap Y | \ V \in O \right\}</math>
* קבוצה <math>\ W \subset Y</math> פתוחה ב Y אם קיימת קבוצה V פתוחה ב X כך ש <math>\ W = Y \cap V</math>.▼
או בניסוח מילולי:
* קבוצה <math>\ M \subset Y</math> סגורה ב Y אם קיימת קבוצה F סגורה ב X כך ש <math>\ M = F \cap V</math>.▼
▲* קבוצה <math>\ W \subset Y</math> היא קבוצה פתוחה ב- Y אם קיימת קבוצה V פתוחה ב- X כך ש <math>\ W = Y \cap V</math>.
▲* קבוצה <math>\ M \subset Y</math> היא [[קבוצה סגורה]] ב- Y אם קיימת קבוצה F סגורה ב- X כך ש <math>\ M = F \cap V</math>.
אפשר לראות שזוהי באמת טופולוגיה על הקבוצה Y, שהתכונות שלה מושרות מהטופולוגיה על X.
מראש, Y יכולה להיות כל תת קבוצה של X, ולא צריכה להיות דווקא קבוצה פתוחה או סגורה. יתר על כן, קיים אוסף רחב של תכונות של מרחבים טופולוגיים שהם '''תורשתיים''' כלומר המרחב X מוריש אותם לכל תת מרחב שלו. מצד שני, קיימות תכונות רבות שהן לא תורשתיות ותכונות אחרות שהן חצי-תורשתיות (כלומר עוברות רק לתתי מרחב פתוחים או סגורים).
==דוגמאות==
הטופולוגיה הרגילה על [[שדה המספרים הרציונליים]] היא הטופולוגיה המושרית עליהם מ[[הישר הממשי]]. מהסיבה הזו שדה המספרים הרציונליים "יורשים" את ה[[מטריקה]] של הישר הממשי והופכים למרחב מטרי. מצד שני למרות שהישר הממשי הוא [[קשירות (טופולוגיה)|קשיר]], מרחב הרציונליים אינו קשיר- כיוון שמתקיים: <math>\mathbb{Q} = \left( \ ( - \infty , \pi)\cap \mathbb{Q} \right) \cup \left( (\pi , \infty)\cap \mathbb{Q} \right)</math>.
קל לראות שבאופן כללי [[מטריזביליות]] היא תכונה תורשתית, בעוד שקשירות היא לא תורשתית, ואפילו לא חצי תורשתיות. כך גם [[מרחב האוסדורף|תכונת האוסדורף]], ו[[מרחב רגולרי|רגולריות]] הן תכונות תורשתיות, בעוד ש[[מרחב נורמלי|נורמליות]] היא לא תורשתית. [[מרחב קומפקטי|קומפקטיות]] היא חצי תורשתית, במרחב האוסדורף, כי היא עוברת בירושה לכל תת מרחב סגור. לעומת זאת היא לא תורשתית לחלוטין- לדוגמה <math>\ (0,1) \subset [0,1]</math>
והקטע הסגור הוא קומפקטי, אך הקטע הפתוח לא קומפקטי.
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
| |||