תורת ההסתברות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 5:
==רקע היסטורי==
עד למאה ה-16 לא ידוע על ניסיונות רציניים לפתח שיטות חישוב בתחום ההסתברות ואין שום הצדקה - ואף לא נעשה ניסיון כזה - להחשיבה כענף מתימטי נפרד, עם זאת ידוע עוד מהתקופה העתיקה על משחקי קובייה ועל הגרלות. מאז ימי הביניים המאוחרים נעשו משחקי הקוביה, יחד עם [[משחק קלפים|משחקי הקלפים]] (שהובאו ככל הנראה סמוך לאותה תקופה מ[[סין]]), נפוצים יותר ויותר ב[[אירופה]] ומתמטיקאים נדרשו לעתים לעזור בחישובים הקשורים במשחקי מזל.
===קרדנו===
שורה 64 ⟵ 63:
בחלקו השני של הספר, ברנולי הציג לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי ב[[אינדוקציה]] שמספר הפרמוטציות של n עצמים הוא !n, ושמספר הפרמוטציות של n עצמים, a מסוג אחד, b מסוג שני, c מסוג שלישי... הוא (נוסחת מרסן) (...!n!/(a!b!c. בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות אם נחלק n עצמים, שמהם ניקח b עצמים, לשתי תת-קבוצות, אחת בת m עצמים, השנייה בת n - m עצמים, מהאחת ניקח a עצמים, ומהשנייה ניקח b - a עצמים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת הקבוצה האחרת.
כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: <math>\ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!)</math>. זאת כיוון שכל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו. לקיחת m עצמים מתוך m, אם כן, שקולה להשמת 1 - n מחיצות ב- n+m - 1 מיקומים אפשריים, כאשר ישנן !m אפשרויות לסידורם. כן הראה כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת m עצמים מתוך n הוא <math>\ n^m</math> ומספר הקומבינציות הוא !m. בהמשך, בעזרת טבלאות, הדגים ברנולי שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון. ברנולי חקר, כמו פסקל, את 'משולש פסקל', וחזר, פחות או יותר, על אותן ההוכחות. מחקריו ב'משולש פסקל' הובילוהו גם למספר תוצאות חשובות ב[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]]. כן פיתח ברנולי פתרון ל'בעיית המשחק המופסק' עבור משחקים התלויים במיומנות, כמו [[טניס]], כלומר ההסתברות לניצחון כל אחד מן הצדדים אינה 0.5. העיקרון של אותו פתרון הנו הרחבה של נוסחת הרקורסיה של פסקל (ר' למעלה).
בהמשך מצא ברנולי נוסחאות לסכומים של פרמוטציות, קישר בין הנוסחאות בהסתברות לביטויים רב איבריים ועוד, בכך סיכם וניסח סופית את כל נושא ההסתברות הקלאסית - של מיקרים שווי הסתברות, שסכומי ההסתברויות שווים ל-1, ושבכל שלב יש מספר סופי של אפשרויות בדידות. כך סוכמה עבודתם של פסקל, פרמה והויגנס.
| |||