מטריצה חיובית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←מינורים: זוטות |
מ הרמיטית - הכי קרוב |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה לינארית]], [[מטריצה]] ממשית [[מטריצה סימטרית#מטריצה הרמיטית|סימטרית]] היא '''מטריצה חיובית''' (positive) אם [[תבנית ריבועית|התבנית הריבועית]] <math>\ q(x)=x^tAx</math> היא חיובית, כלומר אם <math>\ q(x)\geq 0</math> לכל וקטור (ממשי) <math>\,x</math>. המטריצה היא '''חיובית לחלוטין''' (positive definite) אם התבנית חיובית לחלוטין: <math>\ q(x)>0</math> לכל <math>\ x\neq 0</math> (זו כמובן תכונה חזקה יותר).
התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות [[מספר מרוכב|מרוכבות]], היא תכונת ה[[מטריצה הרמיטית|הרמיטיות]]. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) x מתקיים <math>\ x^*Ax\geq 0</math>, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור <math>\ x\neq 0</math> מתקיים <math>\ x^*Ax>0</math>. תנאים אלה שקולים לכך שכל ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] חיוביים. לדוגמה, מטריצה <math>\ A=(a)</math> בגודל <math>\ 1\times 1</math> היא הרמיטית רק כאשר <math>\,a</math> ממשי. המטריצה חיובית אם <math>\ a\geq 0</math>, וחיובית לחלוטין אם <math>\ a>0</math>.
| |||